Для начала докажем вспомогательную лемму

Лемма 1.

Пусть $D$ - ограниченная область в $\mathbb{R}^n$ с кусочно гладкой границей, $u(x)$ - гармоническая в $D$ функция из класса $C^1(\bar{D})$ . Тогда выполняется равенство

$\int\limits_{\partial D}\frac{\partial u(\varepsilon)}{\partial n_{\varepsilon}}ds_{\varepsilon}=0$

Физичекий смысл этой леммы очевиден: поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую поверхность, ограничивающую свободный от зарядов объем, равен нулю.

Доказательство леммы 1. Выпишем вторую формулу Грина для области $D$ и функции $u(x)$ и $v(x)=1$

$\int\limits_{D}(vdu-udv)dx=0=\int\limits_{\partial D}\left(v\frac{\partial u}{\partial n}-u\frac{\partial v}{\partial n}\right)ds=\int\limits_{\partial D}\frac{\partial u}{\partial n}ds$ .

Теорема 1 (о среднем).

Пусть $u(x)$ - гармоническая в шаре $B_R$ функция из класса $C^1(\bar{B_R})$ . Тогда справедлива следующая формула

$u(x_0)=\frac{1}{C_{\partial B_R}}\int\limits_{\partial B_R}u(\varepsilon)ds_{\varepsilon}$ ,

где $C_{\partial B_R}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}R^{n-1}$ - плошадь сферы $\partial B_R$ . В частности, для $n=3$

$u(x_0)=\frac{1}{4\pi R^2}\iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}u(\varepsilon)ds_{\varepsilon}$

Доказательство теоремы 1. Как и раньше ограничемся рассмотрением случая $n=3$ .

Для области $B_R$ и функции $u(x)$ воспользуемся интегральным представлением

$u(x_0)=\frac{1}{4\pi}\left(\iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}\frac{1}{|\varepsilon -x_0|}\frac{\partial u(\varepsilon)}{\partial n_\varepsilon}ds_\varepsilon- \iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}u(\varepsilon)\frac{\partial}{\partial n_\varepsilon}\frac{1}{|\varepsilon-x_0|}ds_\varepsilon\right)$

Найдем производную по нормали

$\frac{\partial}{\partial n_{\varepsilon}}\frac{1}{|\varepsilon-x_0|}|_{\partial B_R}=\frac{\partial}{\partial r}\frac{1}{r}|_{r=R}=-\frac{1}{R^2}$

Следовательно,

$u(x_0)=\frac{1}{4\pi}\left(\frac{1}{R}\iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}\frac{\partial u(\varepsilon)}{\partial n_{\varepsilon}}ds_\varepsilon+\frac{1}{R^2} \iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}u(\varepsilon)ds_\varepsilon\right)=\frac{1}{4\pi R^2}\iint\limits_{|\varepsilon-x_0|=R}u(\varepsilon)ds_{\varepsilon}$ .

Сказать "Спасибо"

Теорема о среднем для гармонических функций.

Комментарии