Принцип Дюамеля позволяет, зная решение задачи Коши для однородного уравнения, найти решение и для неоднородного.

Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения в $\mathbb{R}^n$

$u_{tt}(x,t)-a^2\Delta_{x}u(x,t)=f(x,t),~~x\in\mathbb{R}^n,~t>0~~~(1)$

и начальными условиями

$u(x,0)=u_0(x),~~u_{t}(x,0)=u_1(x).~~~(2)$

Для определенности будем считать, что $a>0$ . Из линейности уравнеия следует, что решение представимо в виде

$u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)$ ,

где $v(x,t)$ - решение задачи Коши для однородного волнового уравнения начальными условиями (2), $w(x,t)$ - решение задачи Коши для уравнения (1) с однородными начальными условиями

$w(x,0)=w_t(x,0)=0$

Найдем функцию $w$ из класса $C^2(\mathbb{R}^n\times[0;\infty])$ , для чего рассмотрим следующую задачу Коши, зависящую от параметра $\tau\geqslant 0$ :

$p_{tt}(x,t,\tau)-a^2\Delta_{x}p(x,t,\tau)=0,~~x\in\mathbb{R}^n,~t>\tau~~~(3)$

$p(x,\tau,\tau)=0,~~p_{t}(x,\tau,\tau)=f(x,\tau).~~~(4)$

Утверждение 1 (принцип Дюамеля). Если существует решение $p(x,t,\tau)$ вспомогательной задачи (3),(4) из класса $C_{x,t,\tau}^{2,2,0}(\bar{M})$ , где $M=\{(x,t,\tau):x\in\mathbb{R}^n,t\geqslant 0,t>\tau\}$ , то функция $w(x,t)=\int\limits_{0}^{t}p(x,t,\tau)d\tau$ удовлетворяет поставленным требованиям.

Доказательство утверждения 1. Согласно предположению о гладкости функции $p(x,t,\tau)$ справедливы следующие равенства:

1) $w(x,0)=0$

2) $w_t(x,t)=p(x,t,t)+\int\limits_{0}^{t}p_t(x,t,\tau)d\tau=\int\limits_{0}^{t}p_t(x,t,\tau)d\tau,~~t\geqslant 0;$

3) $w_t(x,0)=0$

4) $w_{tt}(x,t)=p_t(x,t,t)+\int\limits_{0}^{t}p_{tt}(x,t,\tau)d\tau=f(x,t)+$

$+\int\limits_{0}^{t}a^2 \Delta_x p(x,t,\tau)d\tau=f(x,t)+a^2\Delta_x w(x,t),~~t>0$

из 1),3),4) и следует утверждение. Данный прием носит достаточно общий характер и называется принципом Дюамеля.

Сказать "Спасибо"

Принцип Дюамеля.

Комментарии