Система Orphus

Система Orphus

Принцип Дюамеля.

Принцип Дюамеля позволяет, зная решение задачи Коши для однородного уравнения, найти решение и для неоднородного.

Рассмотрим задачу Коши для волнового уравнения в \mathbb{R}^n

u_{tt}(x,t)-a^2\Delta_{x}u(x,t)=f(x,t),~~x\in\mathbb{R}^n,~t>0~~~(1)

и начальными условиями

u(x,0)=u_0(x),~~u_{t}(x,0)=u_1(x).~~~(2)

Для определенности будем считать, что a>0. Из линейности уравнеия следует, что решение представимо в виде

u(x,t)=v(x,t)+w(x,t),

где v(x,t) - решение задачи Коши для однородного волнового уравнения начальными условиями (2), w(x,t) - решение задачи Коши для уравнения (1) с однородными начальными условиями

w(x,0)=w_t(x,0)=0

Найдем функцию w из класса C^2(\mathbb{R}^n\times[0;\infty]), для чего рассмотрим следующую задачу Коши, зависящую от параметра \tau\geqslant 0:

p_{tt}(x,t,\tau)-a^2\Delta_{x}p(x,t,\tau)=0,~~x\in\mathbb{R}^n,~t>\tau~~~(3)

p(x,\tau,\tau)=0,~~p_{t}(x,\tau,\tau)=f(x,\tau).~~~(4)

Утверждение 1 (принцип Дюамеля). Если существует решение p(x,t,\tau) вспомогательной задачи (3),(4) из класса C_{x,t,\tau}^{2,2,0}(\bar{M}), где M=\{(x,t,\tau):x\in\mathbb{R}^n,t\geqslant 0,t>\tau\}, то функция w(x,t)=\int\limits_{0}^{t}p(x,t,\tau)d\tau удовлетворяет поставленным требованиям.

Доказательство утверждения 1. Согласно предположению о гладкости функции p(x,t,\tau) справедливы следующие равенства:

1)w(x,0)=0

2)w_t(x,t)=p(x,t,t)+\int\limits_{0}^{t}p_t(x,t,\tau)d\tau=\int\limits_{0}^{t}p_t(x,t,\tau)d\tau,~~t\geqslant 0;

3)w_t(x,0)=0

4)w_{tt}(x,t)=p_t(x,t,t)+\int\limits_{0}^{t}p_{tt}(x,t,\tau)d\tau=f(x,t)+

+\int\limits_{0}^{t}a^2 \Delta_x p(x,t,\tau)d\tau=f(x,t)+a^2\Delta_x w(x,t),~~t>0

из 1),3),4) и следует утверждение. Данный прием носит достаточно общий характер и называется принципом Дюамеля.


Система Orphus

Комментарии