Если дебройлевские длины волн частиц малы по сравнению с характеристическими размерами $L$ , определяющими условия данной конкретной задачи, то свойства системы близки к классическим.

Произведем теперь более подробное исследование свойств квазиклассических систем. Для этого в уравнении Шредингера

$\sum_{a}\frac{\hbar^2}{2m_a}\Delta_a\psi+(E-U)\psi=0$

сделаем формальную подстановку

$\psi=\mathrm{exp}\left(\frac{i}{\hbar}\sigma\right)$ .

Для функции $\sigma$ получаем уравнение

$\sum_{a}\frac{1}{2m_a}(\nabla_a\sigma)^2-\sum_a\frac{i\hbar}{2m_a}\Delta_a\sigma=E-U$ .

Соответственно тому, что система предполагается почти классической по своим свойствам, будем искать $\sigma$ в виде ряда

$\sigma=\sigma_0+\frac{\hbar}{i}\sigma_1+\left(\frac{\hbar}{i}\right)^2\sigma_2+\ldots$ ,

Начнем с рассмотрения наиболее простого случая - одномерного движения одной частицы. Уравнение (46.2) сводится тогда к уравнению

$\frac{1}{2m}\sigma'^{2}-\frac{i\hbar}{2m}\sigma''=E-U(x)$

(где штрих означает дифференцирование по координате $x$ ). В первом приближении пишем $\sigma=\sigma_0$ и опускаем в уравнении член, содержащий $\hbar$ :

$\frac{1}{2m}\sigma_0'^2=E-U(x)$ .

Отсюда находим

$\sigma_0=\pm\int\sqrt{2m[E-U(x)]}dx$ .

Подынтегральное выражение представляет собой не что иное, как классический импульс $p(x)$ частицы, выраженный в функции от координаты. Определив функцию $p(x)$ со знаком $+$ перед корнем, будем иметь

$\sigma_0=\pm\int pdx,~~p=\sqrt{2m(E-U)}$

что и следовало ожидать в соответствии с предельным выражением (6.1) для волновой функции.

Сделанное в уравнение (46.4) пренебрежение законно только в том случае, если второй член в левой части равенства мал по сравнению с первым, т.е. должно быть $\hbar|\sigma''/\sigma'^2|\ll 1$ или

$\left|\frac{d}{dx}\left(\frac{\hbar}{\sigma'}\right)\right|\ll 1$ .

В первом приближении имеем, согласно (46.5), $\sigma'=p$ , так что полученное условие можно написать в виде

$\left|\frac{d\lambda}{2\pi dx}\right|\ll 1$ ,

где $\lambda(x)=2\pi\hbar/p(x)$ - дебройлевская длина волны частицы, выраженная как функция от $x$ с помощью классической функции $p(x)$ . Таким образом мы получим количественное условие квазиклассичности - длина волны частицы должна мало меняться на протяжении расстояний порядка ее самой. Приближение становится неприменимы в тех областях пространства, где это условие не выполняется.

$\left|\frac{d\lambda}{dq}\right|=\left|\frac{\hbar p'}{p^2}\right|\ll 1$ .

Ландавшиц стр.208

Сказать "Спасибо"

Критерий применимости квазиклассического приближения

Комментарии