Вероятности независимых событий перемножаются

$\omega_{\alpha}=\omega_{\alpha_1}\cdot\omega_{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot\omega_{\alpha_p}$

Логарифмируем

$\ln\omega_{\alpha}=\ln\omega_{\alpha_1}+\ln\omega_{\alpha_2}+\ldots+\ln\omega_{\alpha_p}$

У механической системы существует не более 7 независимых аддитивных интегралов движения: энергия, три компоненты импульса и три компоненты момента импульса.

Будем рассматривать тела, которые неподвижны и не вращаются. Тогда остается единственный ненулевой интеграл движения - энергия системы. Отсюда следует, что

$\ln\omega_\alpha=A+BE_\alpha$ ,

а сама равновесная функция распределения должна иметь вид

$\omega_\alpha=e^{A+BE_\alpha}$ .

Подставим это выражение в условие нормировки

$\sum_{\alpha}\omega_{\alpha}=1$

получим

$\sum_{\alpha}e^{A+BE_\alpha}=1$ .

Для того, чтобы сумма сходилась при больших $E_{\alpha}$ необходимо, чтобы $B$ был отрицательным. Положим $B=-\beta, \beta>0$ и вынесем общий множитель $e^{A}$ за знак суммы, получим

$e^{A}\sum_{\alpha}e^{-\beta E_{\alpha}}=1$ .

Из этой формулы находим зависимость константы $A$ от статистической суммы:

$A=-\ln Z(\beta)$ .

Было показано, что аргумент статистической суммы $\beta$ имеет смысл обратной термодинамической температуры, а логарифм статистической суммы непосредственно связан со свободной энергией. Это дает возможность переписать равновесную функцию распределения в окончательной форме

$\omega_{\alpha}=\frac{F-E_{\alpha}}{T}$ .

Это выражение называется статистическим распределением Гиббса или каноническим распределением. Главное свойство распределения Гиббса - все механические состояния с одинаковой энергией равновероятны.

Сказать "Спасибо"

Распределение Гиббса

Комментарии