Система Orphus

Система Orphus

Распределение Гиббса

Вероятности независимых событий перемножаются

\omega_{\alpha}=\omega_{\alpha_1}\cdot\omega_{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot\omega_{\alpha_p}

Логарифмируем

\ln\omega_{\alpha}=\ln\omega_{\alpha_1}+\ln\omega_{\alpha_2}+\ldots+\ln\omega_{\alpha_p}

У механической системы существует не более 7 независимых аддитивных интегралов движения: энергия, три компоненты импульса и три компоненты момента импульса.

Будем рассматривать тела, которые неподвижны и не вращаются. Тогда остается единственный ненулевой интеграл движения - энергия системы. Отсюда следует, что

\ln\omega_\alpha=A+BE_\alpha,

а сама равновесная функция распределения должна иметь вид

\omega_\alpha=e^{A+BE_\alpha}.

Подставим это выражение в условие нормировки

\sum_{\alpha}\omega_{\alpha}=1

получим

\sum_{\alpha}e^{A+BE_\alpha}=1.

Для того, чтобы сумма сходилась при больших E_{\alpha} необходимо, чтобы B был отрицательным. Положим B=-\beta, \beta>0 и вынесем общий множитель e^{A} за знак суммы, получим

e^{A}\sum_{\alpha}e^{-\beta E_{\alpha}}=1.

Из этой формулы находим зависимость константы A от статистической суммы:

A=-\ln Z(\beta).

Было показано, что аргумент статистической суммы \beta имеет смысл обратной термодинамической температуры, а логарифм статистической суммы непосредственно связан со свободной энергией. Это дает возможность переписать равновесную функцию распределения в окончательной форме

\omega_{\alpha}=\frac{F-E_{\alpha}}{T}.

Это выражение называется статистическим распределением Гиббса или каноническим распределением. Главное свойство распределения Гиббса - все механические состояния с одинаковой энергией равновероятны.


Система Orphus

Комментарии