Система Orphus

Система Orphus

Микроскопическая теория ферромагнетизма в приближении самосогласованного поля

Ферромагнетик - вещество, в основном состоянии обладающие спонтанной намагниченностью.

Ферромагнетик в модели Гейзенберга описывается гамильтанианом

H=-\sum_{\bold{R}} 2\mu_B\hat{\bold{S}}_R\bold{B}-\frac{1}{2}\sum_{\bold{R}_1\ne \bold{R}_2} J(\bold{R}_1-\bold{R}_2)\hat{\bold{S}}_1\hat{\bold{S}}_2,

где

  • первый член справа - суммарная энергия магнитных моментов атомов \bold{\mu}_\bold{R}=2\mu_B\bold{S}_\bold{R} расположенных в узлах кристаллической решетки, во внешнем магнитном поле,
  • второй описывает изотропное обменное взаимодействие спинов. Величина J(\bold{R}_1-\bold{R}_2) называется обменным интегралом. У ферромагнетиков J_0=\sum_{g}J(g)>0. Для вещества, состоящего из N атомов со спином S=1/2 - это самый общий вид попарного взаимодействия спинов.

1ый случай ферромагнетика в поле \bold{B} в основном состоянии с минимальной энергией. Энергия обменного взаимодействия минимальна, когда все спины параллельны с друг другом. Энергия магнитного поля минимальна, когда все спины направлены по магнитному полю. Получаем что все спины \bold{S}_R направлены по полю \bold{B}. Выбираем направление \bold{B} в качестве оси Oz. Отсюда очевидно, что энергия основного состояния для N атомов может быть расписана в виде:

E_0=H_0=\left(-2\mu_BSB-\frac{1}{2}S^2J_0\right)N.

Если внешнее магнитное поле отсутствует \bold{B}=0, то спины по прежнему параллельны с друг-другом, но их общее направление произвольно. Это свойство называется спонтанным нарушением симметрии.

При низких температурах (T\ne 0) спины атомов флуктуируют, и среднее значение спинов не равно максимальной величине, но близко к нему

\langle \hat{\bold{S}}_{\bold R}\rangle=\bold{S}_T,~~~|\bold{S}_T|=S_T<1/2.

Очевидно что \bold{S}_T\parallel Oz.

При температуре Кюри T_c спонтанная намагниченность исчезает.

Пусть обменный интеграл J(\bold{R}) медленно спадает с увеличением расстояния между спинами. Тогда на выделенный спин S_{R_0} атома действует эффективное поле от большого числа окружающих спинов

\sum_R J(R-R_0)\bold{S}_R.

Сумма большого числа флуктуирующих слагаемых слабо флуктуирует. Поэтому под знаком суммы можно считать, что флуктуация каждого спина мала:

\Delta \bold{S}_R={S}_R-\langle {S}_R\rangle<<1

Это позволяет в исходном гамильтониане сделать приближение

\bold{S}_{R_i}\bold{S}_{R_j}\approx\langle \bold{S}_{R_i}\rangle\langle \bold{S}_{R_j}\rangle+\langle \bold{S}_{R_i}\rangle\Delta\bold{S}_{R_j}+\langle \bold{S}_{R_j}\rangle\Delta\bold{S}_{R_i}

и получить в линейном приближении

H=H_0+H_1
H_0=E_0=-\frac{1}{2}\sum J(R_1-R_2)\langle \bold{S}_1\rangle\langle \bold{S}_2\rangle-\sum 2\mu_{B}\langle \bold{S}_R\rangle\bold{B}
H_1=-\sum J(R_1-R_2)\langle \bold{S}_1\rangle\delta\bold{S}_2-\sum 2\mu_B\delta\bold{S}_R\bold{B}=-\sum 2\mu_{B}\bold{B}_{eff}(R)\delta\bold{S}_R

Здесь введено эффективное магнитное поле

\bold{B}_{eff}(R)=\bold{B}+\frac{1}{2\mu_B}\langle \bold{S}\rangle J_0,

которое зависит от средних значений \langle \bold{S}\rangle.

Как правило, при низких температурах эффективное магнитное поле много больше внешнего магнитного.

Величины \langle \bold{S}\rangle следует вычислять самосогласованным образом, построив выражения, неявным образом задающие их значения. Поэтому расчеты, выполненные в линейном приближении по флуктуациям называются приближением самосогласованного поля.

Можно построить теорию возмущений по степеням флуктуаций и убедиться, что поправки к результатам приближения самосогласованного поля малы вдали от T_c, вне области критических флуктуаций.

Мы будем игнорировать область критических флуктуаций и применять приближение самосогласованного поля ко всем T\ne T_c. Гамильтониан (2) формально разбит на сумму независимых членов. Это позволяет легко вычислить

F=-T\ln Z,
\sum e^{-\beta(E_0+H_1)}=e^{-\beta E_0}\prod Z_R
Z_R=\sum_{\sigma\pm 1}\exp[2\beta\mu_B\bold{B}_{eff}(R)\delta\bold{S}_R]=e
\sum_{\sigma\pm 1}\exp(\bold{b}\boldsymbol{\sigma})=\sum_{\sigma\pm 1}\frac{1}{n!}(\bold{b}\boldsymbol{\sigma})^n=2\mathrm{cosh}\,b

Из соображений симметрии ясно, что в однородном магнитном поле средние значения спинов направлены по магнитному полю и не зависят от координаты узла. Поэтому проще

\sum_{\sigma\pm 1}\exp(b\sigma_z)=e^b+e^{-b}=2\cos hb
F=E_0+\sum 2\mu_B \bold{B}_{eff}(R)\langle \bold{S}_R\rangle-T\sum\ln\left\{2\mathrm{cosh}~[\beta\mu_BB_{eff}]\right\}

получаем

E_0=\left(-\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle^2-2\mu_B\langle S\rangle B\right)N
\sum 2\mu_B \bold{B}_{eff}(R)\langle \bold{S}_R\rangle=(2\mu_B B+J_0\langle S\rangle)\langle S \rangle N
F=\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle^2N-TN\ln\left\{2\mathrm{cosh}~\left[\beta\left(\mu_B B+\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle\right) \right]\right\}

В пределе низких температур (\beta\to\infty) свободная энергия имеет очень простой вид

F=\left(\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle^2-\frac{1}{2}J_0\langle S\rangle-\mu_B B\right)N

Лекции 159


Система Orphus

Комментарии