Гамильтониан одномерной задачи Изинга в нулевом магнитном поле имеет вид

$H=-J\sum_{j=1}^{N-1}\sigma_j\sigma_{j+1},~~~\sigma=\pm 1$

Тогда статсумма запишется

$Z_N=\sum_{\sigma_j=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp\left(K\sum_{j=1}^{N}\sigma_j\sigma_{j+1}\right),~~K=J/T$ .

Представим эту статсумму в виде

$Z_N=\sum_{\sigma_j=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp\left(K\sum_{j=1}^{N-1}\sigma_j\sigma_{j+1}\right)\sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp(K\sigma_{N-1}\sigma_N)$ .

Поскольку

$\sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp(K\sigma_{N-1}\sigma_N)=2\mathrm{ch}\, K$

то

$Z_N=Z_{N-1}(2\mathrm{ch}\, K)=Z_2(2\mathrm{ch}\, K)^{N-2}$

Но

$Z_2=\sum_{\sigma_1=\pm 1}\sum_{\sigma_2=\pm 1}\exp~(K\sigma_1\sigma_2)=4\mathrm{ch}\,K$

Поэтому

$Z_N=2(2\mathrm{ch}\,K)^{N-1}$ .

Свободная энергия имеет вид

$F=-T\ln Z=-NT\ln (2\mathrm{ch}\,K)$

Соответственно энергия и теплоемкость имеют вид

$E=\frac{\partial }{\partial T^{-1}}\left(\frac{F}{T}\right)=-NJ\mathrm{th}\,\frac{J}{T}$ $C=\frac{\partial E}{\partial T}=\frac{NJ^2/T^2}{\mathrm{ch}^2\frac{J}{T}}$

В пределе высоких и низких температур $C\to 0$ .

В присутствии магнитного поля статсумма

$Z=\sum_{\sigma_j=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp\left(K\sum_{j=1}^{N-1}\sigma_j\sigma_{j+1}+\mu_0H\sum_{j=1}^{M}\sigma_j\right)$

непосредственно вычислена быть не может. Удобно отождествить 1-й и N-й узлы. В макроскопическом пределе это не сказывается на термодинамических свойствах системы.

Для расчета статсуммы введем матрицу $P$ второго порядка с матричными элементами

$P(\sigma_j,\sigma_{j+1})=\exp(K\sigma_j\sigma_{j+1}+\mu_0H\sigma_j)$ .

Здесь $\sigma_{j}=\pm 1$ определяет две строки, а $\sigma_{j+1}=\pm 1$ два столбца матрицы $P$ . Тогда

$\begin{Vmatrix} \exp(K+M) & \exp(-K+M) \\ \exp(-K-M) & \exp(K-M) \end{Vmatrix}$

Обозначим матричные элементы через $P(\sigma,\sigma')$ . Это позволяет записать статсумму в виде

$Z=\sum_{\sigma_j=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_N=\pm 1}....=\mathrm{Sp}\,P^N=\sum_j\lambda_j^N$ .

где $\lambda_j$ - собственные значения матрицы $P$ . Секулярное уравнение для нахождения $\lambda_j$ имеет вид

$(\exp(K+M)-\lambda)(\exp(K-M)-\lambda)=e^{-2K}$

которое переписывается в виде

$\lambda^2-2\lambda\exp\,K\mathrm{ch}\,M-e^{-2K}=0$

Откуда

$\begin{Vmatrix} \lambda_1\\ \lambda_2 \end{Vmatrix}=e^K\mathrm{ch}\,M\pm(e^{2K}\mathrm{sh}^2\,M+e^{-2K})^{1/2}$ .

При $N\to \infty$ в окончательное выражение для статсуммы (58) следует оставить только большее - $\lambda_{\max}$ . Поэтому

$Z=\lambda_{\max}^N$ .

Знание свободной энергии полностью решает поставленною термодинамическую задачу. Например, намагниченность на один узел равна

$\frac{M}{N}=-\frac{\partial F}{\partial H}=-T\frac{\partial \ln\lambda_{\max}}{\partial H}$ .

Лекции 170

Сказать "Спасибо"

Метод трансфер-матрицы и точное решение в одномерном случае

Комментарии