Система Orphus

Система Orphus

Метод трансфер-матрицы и точное решение в одномерном случае

Гамильтониан одномерной задачи Изинга в нулевом магнитном поле имеет вид

H=-J\sum_{j=1}^{N-1}\sigma_j\sigma_{j+1},~~~\sigma=\pm 1

Тогда статсумма запишется

Z_N=\sum_{\sigma_j=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp\left(K\sum_{j=1}^{N}\sigma_j\sigma_{j+1}\right),~~K=J/T.

Представим эту статсумму в виде

Z_N=\sum_{\sigma_j=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp\left(K\sum_{j=1}^{N-1}\sigma_j\sigma_{j+1}\right)\sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp(K\sigma_{N-1}\sigma_N).

Поскольку

\sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp(K\sigma_{N-1}\sigma_N)=2\mathrm{ch}\, K

то

Z_N=Z_{N-1}(2\mathrm{ch}\, K)=Z_2(2\mathrm{ch}\, K)^{N-2}

Но

Z_2=\sum_{\sigma_1=\pm 1}\sum_{\sigma_2=\pm 1}\exp~(K\sigma_1\sigma_2)=4\mathrm{ch}\,K

Поэтому

Z_N=2(2\mathrm{ch}\,K)^{N-1}.

Свободная энергия имеет вид

F=-T\ln Z=-NT\ln (2\mathrm{ch}\,K)

Соответственно энергия и теплоемкость имеют вид

E=\frac{\partial }{\partial T^{-1}}\left(\frac{F}{T}\right)=-NJ\mathrm{th}\,\frac{J}{T}
C=\frac{\partial E}{\partial T}=\frac{NJ^2/T^2}{\mathrm{ch}^2\frac{J}{T}}

В пределе высоких и низких температур C\to 0.

В присутствии магнитного поля статсумма

Z=\sum_{\sigma_j=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_N=\pm 1}\exp\left(K\sum_{j=1}^{N-1}\sigma_j\sigma_{j+1}+\mu_0H\sum_{j=1}^{M}\sigma_j\right)

непосредственно вычислена быть не может. Удобно отождествить 1-й и N-й узлы. В макроскопическом пределе это не сказывается на термодинамических свойствах системы.

Для расчета статсуммы введем матрицу P второго порядка с матричными элементами

P(\sigma_j,\sigma_{j+1})=\exp(K\sigma_j\sigma_{j+1}+\mu_0H\sigma_j).

Здесь \sigma_{j}=\pm 1 определяет две строки, а \sigma_{j+1}=\pm 1 два столбца матрицы P. Тогда

\begin{Vmatrix}
\exp(K+M) & \exp(-K+M) \\
\exp(-K-M) & \exp(K-M)
\end{Vmatrix}

Обозначим матричные элементы через P(\sigma,\sigma'). Это позволяет записать статсумму в виде

Z=\sum_{\sigma_j=\pm 1}\ldots \sum_{\sigma_N=\pm 1}....=\mathrm{Sp}\,P^N=\sum_j\lambda_j^N.

где \lambda_j - собственные значения матрицы P. Секулярное уравнение для нахождения \lambda_j имеет вид

(\exp(K+M)-\lambda)(\exp(K-M)-\lambda)=e^{-2K}

которое переписывается в виде

\lambda^2-2\lambda\exp\,K\mathrm{ch}\,M-e^{-2K}=0

Откуда

\begin{Vmatrix}
\lambda_1\\
\lambda_2
\end{Vmatrix}=e^K\mathrm{ch}\,M\pm(e^{2K}\mathrm{sh}^2\,M+e^{-2K})^{1/2}.

При N\to \infty в окончательное выражение для статсуммы (58) следует оставить только большее - \lambda_{\max}. Поэтому

Z=\lambda_{\max}^N.

Знание свободной энергии полностью решает поставленною термодинамическую задачу. Например, намагниченность на один узел равна

\frac{M}{N}=-\frac{\partial F}{\partial H}=-T\frac{\partial \ln\lambda_{\max}}{\partial H}.

Лекции 170


Система Orphus

Комментарии