Исследование уравнения второго порядка

В общей декартовой системе координат линия второго порядка может быть задана уравнением

, (1)

в котором коэффициенты А, В и С не равны нулю одновременно. Исследуем множество точек, которые ему удовлетворяют, не предполагая заранее, что хоть одна такая точка существует. С этой целью мы будем менять систему координат так, чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала можно считать систему координат декартовой прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе координат общий вид уравнения (1) не изменится.

При повороте базиса декартовой прямоугольной системы координат на угол старые координаты точки x, y будут связаны с ее новыми координатами x', у' формулами

х=х' cos — у'sin, у=х'sin + у'cos .

В новых координатах уравнение (1) примет вид

А(х'cos- у'sin)+ 2В(х'cos - у'sin ) ( х'sin + y' cos ) + C(x'sin + y'cos )+ ... = 0.

Здесь многоточием обозначены члены первой степени относительно х',у' и свободный член, которые нет необходимости выписывать. Нас будет интересовать член с произведением х'у' в преобразованном уравнении. В невыписанные члены это произведение не входит, и мы подсчитаем, что половина коэффициента при х'у' есть

В' = —A sin cos + В (cos — sin ) + С sin cos .

Если В = 0, то поворачивать систему координат не будем. Если же В≠0, то выберем угол так, чтобы В' обратилось в нуль.

Это требование приведет к уравнению

2В cos 2 =(A- С) sin 2. (2)

Если А = С, то cos 2 = 0, и можно положить = π/4. Если же А ≠ С, то выбираем = arctg(). Для нас сейчас важно то, что хоть один такой угол обязательно существует. После поворота системы координат на этот угол линия будет иметь уравнение

А'х + С'у + 2D'x' + 2Е'у' + F' = 0. (3)

Выражения для коэффициентов уравнения (3) через коэффициенты (1) подсчитать не трудно, но это не нужно. Теперь коэффициент при произведении переменных равен нулю, а остальные члены мы по-прежнему считаем произвольными.

Сформулируем следующее вспомогательное

Предложение 1. Если в уравнение (3) входит с ненулевым коэффициентом квадрат одной из координат, то при помощи переноса начала координат вдоль соответствующей оси можно обратить в нуль член с первой степенью этой координаты.

В самом деле, пусть, например, А'≠0. Перепишем (3) в виде

А' (х + х' + ) + С'у² + 2Е'у' + F' – = 0.

Если мы сделаем перенос начала координат, определяемый формулами х'' = х' + D'/А', у'' = у', то уравнение приведется к виду

А'х + С'у + 2Е'у'' + F'' = 0,

как и требовалось.

А. Предположим, что А'С'≠0, т. е. оба коэффициента отличны от нуля. Согласно предложению 1 при помощи переноса начала координат уравнение приведется к виду

А'х + С'у + F''= 0. (4)

Могут быть сделаны следующие предположения относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.

А1. А'С'> 0 — коэффициенты А' и С' имеют один знак. Для F'' имеются следующие три возможности.

A1a. Знак F'' противоположен знаку А' и С'. Перенесем F'' в другую часть равенства и разделим на него. Уравнение примет вид

, (5)

где а= —F''/А', b2 = —F''/С''. Можно считать, что в этом уравнении а>0, b > 0 и а ≥ b. Действительно, если последнее условие не выполнено, то можно сделать дополнительную замену координат

х*=у'', у*=х''. (6)

Определение. Линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат может быть задана уравнением (5) при условии а ≥ b, называется эллипсом, уравнение называется каноническим уравнением эллипса, а система координат — его канонической системой координат.

При а = b уравнение (5) есть уравнение окружности радиуса а. Таким образом, окружность — частный случай эллипса.

А1б. Знак F'' совпадает с общим знаком А'' и С''. Тогда аналогично предыдущему мы можем привести уравнение к виду

, (7)

Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки.

Уравнение, которое приводится к каноническому виду (7), называется уравнением мнимого эллипса.

А1в. F'' = 0. Уравнение имеет вид

ax''2 + су'' = 0. (8)

Ему удовлетворяет только одна точка х'' = 0, у'' = 0. Уравнение, приводящееся к каноническому виду (8), называется уравнением пары мнимых пересекающихся прямых.

Комментарии