Алгебраической поверхностью называется множество точек, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида

+...+= 0 (1), где все показатели степени — целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической поверхности.

Алгебраической линией на плоскости называется множество точек плоскости, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнением вида

=0(2), где все показатели степени — целые неотрицательные числа. Наибольшая из сумм называется степенью уравнения, а также порядком алгебраической линии.

Теорема 1. Алгебраическая поверхность порядка р в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (1) порядка р.

Теорема 2. Алгебраическая линия порядка р на плоскости в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (2) порядка р.

Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем, например, теорему 2. Для этого перейдем от системы координат O, , о которой шла речь в определении, к произвольной новой системе координат О',. Старые координаты х,у связаны с новыми коорди-

натами х',у' формулами : , (3).

Чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, подставим в ее уравнение F(x,y) = 0 выражения х и у через х' и у'. При умножении многочленов их степени складываются. Поэтому — многочлен степени k относительно х' и у', а

— многочлен степени l. Таким образом, каждый одночлен вида есть многочлен степени k+l относительно х' и у'. Степень суммы многочленов не выше максимальной из степеней слагаемых. (Она окажется ниже, если члены с максимальными степенями уничтожатся.)

Итак, мы доказали пока, что алгебраическая линия в любой декартовой системе координат может быть задана уравнением G(x',у') = О вида (2), причем степень многочлена G(x',y') не больше степени многочлена F(x,y), т. е. степень уравнения не повышается. Нам осталось

доказать, что степень уравнения не может и понизиться, а потому не меняется при переходе к другой системе координат. Это легко доказать от противного. Действительно,

G(x',y') = , .

Поэтому, если мы подставим в G(x',у') выражения х' и у' через х и у, полученные решением уравнений (3), мы получим многочлен F(x,y). Если бы степень G была меньше степени F, это означало бы, что при переходе от системы координат О', к системе O, степень уравнения повысилась, чего, как мы видели, быть не может. Порядок алгебраической линии — первый встретившийся нам пример инварианта. Вообще, инвариантом называют всякую величину, не меняющуюся при изменении системы координат. Только инвариантные комбинации величин (коэффициентов, показателей и т. д.),

входящих в уравнение линии или поверхности, характеризуют ее геометрические свойства, не зависящие от ее расположения относительно системы координат.

Замечание. Свойство неизменности порядка не относится к различным уравнениям, которые линия или поверхность могут иметь в одной и той же системе координат.

Предложение 5. Линия второго порядка, принадлежащая к одному из аффинных классов, при любом аффинном преобразовании может перейти только в линию того же класса. Каждую линию второго порядка подходящим аффинным преобразованием можно перевести в любую другую линию того же аффинного класса.

Доказательство. Линию мы назовем ограниченной, если она лежит внутри некоторого параллелограмма. Легко видеть, что при аффинном преобразовании ограниченная линия должна перейти в ограниченную, а неограниченная — в неограниченную.
1) Эллипс — ограниченная линия второго порядка. Кроме эллипсов ограничены только линии, состоящие из одной точки, т. е. пары мнимых пересекающихся прямых. Поскольку эллипс ограничен и состоит больше, чем из одной точки, он может перейти только в эллипс.
2) Гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Это свойство можно сформулировать так, что будет ясна его неизменность при аффинных преобразованиях. Именно, существует прямая линия, не пересекающая гиперболу, но пересекающая некоторые ее хорды. Из всех линий второго порядка только гиперболы и пары параллельных прямых обладают этим свойством. У гиперболы ветви не прямые линии, и потому при аффинном преобразовании она может перейти только в гиперболу.
3) Парабола — неограниченная линия второго порядка, состоящая из одного непрямолинейного куска. Этим свойством не обладают никакие другие линии второго порядка, и потому парабола может перейти только в параболу.
4) Если линия второго порядка представляет собой точку (пару мнимых пересекающихся прямых), прямую (пару совпавших прямых), пару пересекающихся или пару параллельных прямых, то из доказанных ранее свойств аффинных преобразований следует, что эта
линия не может перейти в линию никакого другого класса.
Если мы откажемся от ортонормированности базиса, то сможем произвести дальнейшие упрощения канонических уравнений и привести их к виду, не содержащему параметров. Например, замена координат x'=x/a, y'=y/b переводит уравнение эллипса =1
в уравнение =1, каковы бы ни были а и b. (Последнее уравнение не есть уравнение окружности, так как новая система координат не декартова прямоугольная.)

Читатель без труда покажет, что канонические уравнения линий второго порядка переходом к подходящей системе координат могут быть преобразованы в уравнения:
1)=1; 2)=0; 3) =1; 4) =0; 5)=2х; 6)-1 = 0; 7) = 0.
Такую систему координат мы назовем аффинной канонической системой координат.
Аффинное преобразование, которое совмещает аффинные канонические системы координат двух линий одного аффинного класса, совмещает и эти линии. Это заканчивает доказательство.

Комментарии