Скалярное произведение и его свойства. Выражение скалярного произведения в координатах. Формулы для определения расстояния между точками и угла между направлениями через координаты векторов в ортонормированном базисе.
Под
углом между
векторами
понимается угол между векторами, равными данным и имеющим общее
начало. В некоторых случаях будем указывать, от какого вектора и в
каком направлении угол отсчитывается. Если такого указания не
сделано, углом между векторами считается тот, который не больше
.
Если угол прямой, то векторы называютя ортогональными.
Скалярным
произведением 2х векторов
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус
угла между ними. Если хоть 1 из векторов нулевой, то угол не
определен и скалярное произведение по определению равно нулю.
Скалярное
произведение векторов
и
обозначается
или
.
Таким
образом, мы можем написать
,
где
угол
между векторами
и
.
Необходимо
подчеркнуть следующее обстоятельство:
скалярное
произведение может быть определено только после того, как будет
выбрана определенная единица измерения длин векторов. Иначе
приведенное выше определение не имеет смысла.
Скалярное умножение имеет следующие очевидные свойства:
1)Коммутативность:
для любых
и
выполнено
2)для
любого вектора
3)Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.
4)Векторы
ортнормированного базиса удовлетворяют равенствам:
,
.
Предложение 1.
Если
базисные векторы попарно ортогональны, то компоненты любого вектора
находятся
по формулам:
,
,
;
в
частности, если базис ортонормированный :
,
,
(1)
и
.
Доказательство:
Пусть
,
причем каждое слагаемое коллинеарно соответствующему базисному
вектору. Из предложения 1 параграфа 1 (см. предыдущий билет) мы
знаем, что
,
где выбирается знак в зависимости от того, одинаково или
противоположно направлены
и
.
Как видно из рисунка
,
где
- угол
между векторами
и
.
Итак,
.
Аналогично вычисляются и остальные компоненты.
Косинусы
углов между вектором
и
базисными векторами декартовой прямоугольной системы координат
называются направляющими
косинусами этого вектора.
Направляющие косинусы — это компоненты вектора
.Их
отличительная особенность состоит в том, что сумма их квадратов равна
квадрату длины
,
т.е. 1.
Предложение
2.
Для любых векторов,
и
и
любых чисел
и
выполнено равенство:
.
В частности,
и
.
Доказательство:
Если
,
то утверждение очевидно. Пусть
.
Примем
за
первый вектор базиса, а остальные выберем ортогонально к нему и между
собой. Число
- первая компонента вектора
.
Точно так же
и
-
первые
компоненты векторов
и
.
Согласно предложению 5 параграфа 1 (при умножении вектора на число
все его компоненты умножаются на это число, при сложении векторов
складываются их соответствующие компоненты) получаем:
.
Отсюда
прямо получается доказываемое равенство.
Легко
показать, что такая же ф-ла справедлива и для линейной комбинации
любого числа векторов. Используя коммутативность скалярного
умножения, мы получаем тождество
Теорема
1.
Если базис ортонормированный, то скалярное произведение векторов
и
выражается
через их компоненты
и
по
формуле
.
Доказательство.
Подставим вместо
его
разложение и воспользуемся предложением 2:
=
.
Теперь
доказываемое следует из ф-лы (1).
Требование ортонормированности базиса очень существенно.
Теорема
1 позволяет выписать выражение длины вектора через его компоненты в
ортонормированном базисе:
(2),
а также выражение косинуса угла между векторами
=
.
Используя
ф-лу (2) мы можем вычислить расстояние между точками, есл заданы их
координаты в декартовой прямоугольной системе координат. Пусть точки
А и В имеют координаты (x,
y, z) и
.
Тогда расстояние между ними равно
=