4. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты векторов. Условия компланарности трех векторов.

Базис в пространстве называется правым, если (считая векторы имеющими общее начало) с конца третьего вектора мы видим кратчайший поворот от первого вектора ко второму против часовой стрелки. В противном случае базис называется левым.

Пространство называется ориентированным, если из двух классов базисов выбран один. Базисы этого класса называются положительно ориентированными.

Если пространство ориентировано, мы можем ввести определение смешанного произведенния.

Смешанным произведением векторов , и (в данном порядке) называется число, равное объему ориентированного параллелепипеда, построенного на этих векторах, если они не компланарны; и равно нулю, если они компланарны.

Смешанное произведение векторов, и обозначается . При перестановке сомножителей в смешанном произведении может измениться только ориентация тройки векторов. Поэтому абсолютная величина смешанного произведения не зависит от порядка сомножителей. Для любых векторов , и , сравнивая ориентации тройки векторов, получаем: =====(2).

Предложение 1.

Каковы бы ни были векторы и , найдется единственный (не зависящий от ) вектор такой, что при любом выполнено равенство: (1).

Док-во: Сначала докажем существование вектора , а потом установим его единственность. Пусть векторы и коллинеарны. Тогда при любом векторы , и компланарны и =0. Поэтому мы можем положить . Рассмотрим неколлинеарные векторы и и предположим сначала, что , и некомпланарны. Построим на них ориентированный параллелепипед и примем за его основание параллелограмм, построенный на и . Введем ориентацию на прямой OH, перпендикулярной основанию. Мы зададим её с помощью вектора длины 1, составляющего с и правую тройку ,,. (Тройка,, также правая). - скалярная проекция вектора на . По модулю она равна высоте параллелепипеда ОН, а знак её определяется ориентацией тройки ,,. тогда и только тогда, когда концы векторов и лежат в одном полупространстве, т.е. тройка ,, - правая. Таким образом, положительно для правой тройки ,, и отрицательно для левой.

Пусть положительное число S — площадь основания параллелепипеда. Тогда произведение по модулю равно объему параллелепипеда, а знак его совпадает со знаком . Это значит, что . Полученное равенство совпадает с (1), если (3). Осталось рассмотреть случай, когда и не коллинеарны, а , и компланарны. В этом случае лежит в плоскости векторов и , следовательно, ортогонален вектору , вычисленному по формуле (2). Поскольку =0 и =0, вектор (3) удовлетворяет равенству (2) и в этом случае. Итак, мы нашли вектор, который удовлетворяет равенству (2) при любом и определяется только по и . Допустим, что для фиксированных и нашлось 2 вектора и таких, что для любого выполнено равенство: и . отсюда следует, что или =0. Поэтому вектор ортогонален каждому вектору пространства и, следовательно, равен нулевому вектору. Это доказывает, что вектор , определяемый формулой (2), может быть только один. Предложение полностью доказано.

Теорема 3. Смешанное произведение векторов, и выражается через их компоненты , и в произвольном базисе по ф-ле: =-*

Док-во: Заметим, что и умножим скалярно обе части на вектор . Мы получим =++, Учитывая рав-ва (1) и приводя подобные члены, получаем нужный нам результат.

Через детерминанты 3его порядка мы можем написать: =(4)

Предложение 2. Равенство нулю детерминанта матрицы из компонент 3х векторов необоходимо и достаточно для компланарности векторов.

Док-во: это сразу следует из ф-лы (4), т.к.

Комментарии