5. Определение общей декартовой системы координат. Изменение координат вектора при замене базиса. Изменение координат точки при переходе к новой системе координат. Формулы перехода от одной прямоугольной системы координат на плоскости к другой.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М. Радиус-вектором точки М по отношению к точке О называется вектор . Если в пространстве кроме точки О выбран некоторый базис, то точке М сопоставляется упорядоченная тройка чисел — компоненты её радиус-вектора.

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка носит название начала координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются осями координат; первая — осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья — осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.

Пусть дана декартова система координат О, . Компоненты x, y, z радиус-вектора точки М называются координатами точки М в данной системе координат: . Первая координата называется абсциссой, вторая - ординатой, а третья — аппликатой.

На плоскости точка имеет только 2 координаты, а на прямой — одну.

Координаты точки, как и компоненты вектора — величины безразмерные. Они не зависят от выбранной единицы измерения длин.

При заданной СК координаты точки определены однозначно. С другой стороны, если задана СК, то для каждой упорядоченной тройки чисел найдется единственная точка, имеющая эти числа в качестве координат. СК на плоскости определяет такое же соответствие между точками плоскости и парами чисел. Задание СК на прямой линии сопоставляет каждой точке вещественное число и каждому числу — точку.

Предложение 1. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты его начала.

Док-во: Рассмотрим 2 точки А и В, координаты которых относительно некоторой декартовой системы координат О, соответственно и . Поставим задачу найти компоненты вектора . Очевидно, что . Компоненты радиус-векторов и равны и по определению координат. Из предложения 5 параграфа 1 (при умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты) следует, что имеет компоненты .

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат.

Координаты точки относительно ПДСК в пространстве по модулю равны расстояниям от этой точки до соответствующих координатных плоскостей. Они имеют знак плюс или минус в зависимости от того, лежит точка по ту же или по другую сторону от плоскости, что и конец базисного вектора, перпендикулярного этой плоскости. Аналогично — относительно ПДСК на плоскости.

Выбор базиса ничем не ограничен, поэтому принципиальное значение имеет задача о нахождении компонентов вектора в одном базисе по его компонентам в другом базисе. При этом должны быть известны компоненты новых базисных векторов в старом базисе . Пусть , , . Произвольный вектор разложим по базису : . В старом базисе компонеты этого вектора обозначим . Раскладывая каждый член предыдущего равенства по базису в силу предложения 5 параграфа 1 (при умножении вектора на число все его компоненты умножаются на это число, при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты) получаем: , , (1). Эти соотношения и являются решениями задачи. Если нужно будет найти выражение новых компонентов через старые — то надо будет решить систему уравнений (1) относительно неизвестных . Точно таким же способом получаются формулы, связывающие компоненты вектора в разных базисах на плоскости: , (2).

Коэффициенты в формулах (2) можно записать в таблицу : (3), которая называется матрицей перехода от базиса к базисуВ её столбцах стоят компоненты векторов в старом базисе.

Рассмотрим теперь 2 декартовы СК: старую О, и новую O', . Пусть М — произвольная точка, её координаты в этих системах обозначены (x, y, z) и (x', y', z'). Выразим x, y и z через x', y' и z', считая известным положение новой системы относительно старой. Оно определяется координатами точки O' в системе координат О, и компонентами векторов , составляющими матрицу перехода (3). Радиус-векторы точки М относительно точек О и O' связаны равенством , которое можно записать в виде (4), т.к. x', y' и z' — компонеты вектора в базисе . Разложим каждый член равенства (4) по базису имея в виду, что компоненты векторов иравны координатам точек М и O' , которые мы обозначали (x, y, z) и . Мы получим , , (5) – эти равенства предсталвяют собой закон преобразования координат точки при переходе от одной декартовой системы координат в пространстве к другой такой же системе.

Формулы перехода от одной декартовой системы координат на плоскости к другой получаются из (5), если там оставить только первые 2 равенства и в них вычеркнуть члены с z' : , .

Комментарии