1. Параметрические уравнения плоскости.

p и q направляющие векторы плоскости, p и q не коллинеарны, вектор компланарен с p и q = r — r₀ . Если точка М лежит в плоскости,то найдутся числа и такие,что (1) — векторное параметрическое ур-е плоскости.

Если , , M (x,y,z), , то система ; ; (2) — параметрические уравнения плоскости

2. Векторные и линейное уравнения плоскости.

вектор компланарен с p и q (3)

Вектор -ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости (4)

Если обозначить радиус-вектор начальной точки r₀ в виде , то получим (5)

(3), (4) — векторные уравнения плоскости

Если и и , то можно записать Ax+By+Cz+D=0. (6) общее линейное уравнение

3.Условия параллельности и совпадения плоскостей, заданных в координатной форме

Плоскости, задаваемые в общей декартовой системе координат уравнениями Ax+By+Cz+D=0 и =0

* параллельны тогда и т.тогда, когда сответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число k, что =kA, =kB, =kC.

* совпадают тогда и т. тогда, когда существует такое число k, что =kA, =kB, =kC и =kD

Док-во:

1) Если плоскости параллельны,то их нормальные векторы n и n1 коллинеарны, т.е. n1 = kn.

A==kA, B==kB и C==kC.

2) Пусть плоскости параллельны. Тогда их уравнения имееют вид Ax+By+Cz+D=0 и k(Ax + By +Cz)+=0

Если они совпадают,то ещё и существует их общая точка ,значит,можно переписать

A+B+C+D=0 и k(A+B+C) +=0, вычитаем и получаем,что =kD.

4. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость с уравнением и точка М с радиус-вектором R. Рассмотрим вектор = R — r₀ ,соединяющий начальную точку плоскости с М. Расстояние от точки до плоскости равно модулю его скалярной проекции на вектор n, т.е h= .

Если в декартовой прямоуг. системе координат точка М имеет координаты (X,Y,Z), то можно переписать в виде h=

Комментарии