Задача 1. Доказать, что любые 2 касательные к эллипсу параллельны тогда и только тогда, когда точки касания и центр эллипса лежат на одной прямой.

Решение. Эллипс аффинно эквивалентен окружности — то есть, существует аффинное преобразование, переводящее эллипс в окружность. Для окружности тот факт, что касательные параллельны тогда и только тогда, когда центр и точки касания лежат на одной прямой, очевиден. По свойствам аффинных преобразований, параллельные прямые перейдут в параллельные прямые, точка пересечения — в точку пересечения и т.д. Значит, и для эллипса этот факт — верный.

P.S. Тут решение нужно дополнить чертежами эллипса и окружности с соответствующими касательными и прямой, которая соединяет точки касания и центр. Чтобы доказать очевидность данного факта для окружности, нужно вспомнить школьный курс планиметрии - доказать параллельность 2 прямых через их перпендикулярность третьей, а также вспомнить свойства касательных к окружности и радиуса, проведенного в точку касания.

Комментарии