Задача 3. Определить тип кривой, заданной уравнением: Г:=4

Решение. Пусть x'=x-y-3, y'=x+y+3. Эти формулы задают линейное преобразование. Проверим, является ли оно аффинным: Преобразование является аффинным. По свойствам аффинных преобразований, кривая не изменит своего типа. Примем, что формулы, задающие x' и y', переводят исходное уравнение к каноническому виду. В каноническом виде уравнение кривой выглядит : , кривая является гиперболой. Докажем этот факт, для этого найдем координаты центра кривой в канонической СК. Получилось, что центр имеет координаты (0;0). Точка с данными координатами не лежит на данной кривой. Для этой кривой легко определить уравнения асимптот y=и показать, что они пересекаются в точке (0;0) — т.е в центре.

P.S. Другой способ решения этой задачи — втупую раскрыть скобки в исходном уравнении: применить формулу разности квадратов, перемножить, перенести число 4 в левую часть. Затем написать уравнение кривой в общем виде: , сопоставить коэффициенты перед переменными, посчитать определитель , выяснить что , значит кривая гиперболического типа. Потом найти координаты её центра как решение системы: , и доказать, что кривая будет именно гиперболой. Но этот способ не очень нравится препам, т.к задачи такого типа входили в задание №3 в тему «аффинные преобразования»

Комментарии