Задача 5. Найти фокусы кривой, заданной общим уравнением: -32x-56y+80=0.

Замечание: После нахождения ответа в канонической СК, нужно обязательно перейти в исходную СК! (препы типа Редкозубова очень придираются к этому). По умолчанию, исходной СК считается прямоугольная декартова.

Решение. 1)Определим тип кривой. , эллиптический тип.(2=4/2)

2)найдем координаты её центра: .

Теперь перенесем начало СК в точку О(2;3).

, подставим полученные уравнения в исходное: +4(x'+2)(y'+3)+-32(x'+2)-56(y'+3)+80=0 , раскроем скобки, приведем подобные и получим: -36=0 (При решении задач такого типа, можно проверить правильность своих вычислений таким образом: коэффициенты при x' и y' в первой степени должны обнулиться, а коэффиценты при квадратах — не измениться)

3)Теперь повернем СК на некоторый угол : , подставим : ++-36=0,

++x''y''-36=0.

Нужно повернуть СК на такой угол , чтобы в уравнении, полученном выше, коэффициент при x''y'' обнулился. Решив квадратное тригонометрическое уравнение, получим: . Выберем значение косинуса и синуса так, чтобы , подставим в последнее полученное ур-е: , получилось уравнение, похожее на ур-е эллипса в канонической СК — но получилось, что длина большой полуоси меньше длины малой полуоси. Чтобы избавиться от этого, нужно поменять оси местами, у одной из них сменить направление: .

4)Теперь можно найти координаты фокусов эллипса и , = ,. В канонической СК ответ получен, но теперь нужно вернуться в исходную. Выполянем все те же преобразования в обратном порядке и получаем: и .

Комментарии