Задача 6. Найти детерминант n-ого порядка: =

1)Будем искать детерминант с помщью элементарных преобразований над строками и столбцами. Во-первых, из кажой строки вычтем последнюю, саму её оставим без изменений. Получим: .

2. Теперь к первому столбцу прибавим все остальные :

3. Разложим полученный определитель по первому столбцу: ==, - определитель матрицы, в которой на побочной диагонали 3, все остальные элементы 0, число строк равно числу столбцов и равно (n-1).

4. В переставляем строки по очереди так, чтобы на главной диагонали оказались 3, а на побочной — 0. При перестановке 2х строк 1 раз, сменит знак 1 раз, если переставим 2 раза — сменит знак дважды, и т.д. Последнюю строку мы переставим (n-2) раза, предпоследнюю — (n-3) раза, и т.д., а вторую строку переставим (n-(n-1))=1 раз. Получим определитель треугольной матрицы, который равен произведению её диагональных элементов. Таким образом: ==. Тогда окончательный ответ: ==

Комментарии