Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности вида 0/0.

Если ф-ции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке a, f(a)=g(a)=0, но при этом , то применяя к ф-цим f и g локальную ф-лу Тейлора при n=1, получаем: f(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a), g(x)=g'(a)(x-a)+o(x-a), откуда следует, что: (1). Аналогично, если сущ-ют и и вып-ся усл-я: f(a)=f'(a)=...=, g(a)=g'(a)=...=, но , то: =

Теорема 1. Пусть ф-ции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a,b), и (2) , (3), сущ-ет (конечный или бесконечный) (4) Тогда сущ-ет и равен А, т.е. (5)

Док-во: Пусть . Доопределим ф-ции f(x) и g(x) в точке a, полагая f(a)=g(a)=0. (6)

Тогда из усл-й (2) и (6) следует, что ф-ции f и g непрерывны на отрезке [a,x]. По т.Коши (теоремы о среднем) сущ-ет точка такая,что: . Если , то , и в силу усл-я (4) сущ-ет =A. Поэтому из рав-ва (7) следует, что утв.(5) справедливо.

Замечание. Доказанная теорема остается справедливой при и , где а — конечная точка.

Эта теорема остается в силе и при а=+ (а=-), если =0, при x> и сущ-ет И в этом случае . (Это утв. доказывается на основе замены )

Комментарии