Локальный экстремум и теорема Ферма.

Пусть существует число >0 такое, что функция f(x) определена в -окрестности точки , то есть на множестве()=( -,+), и пусть для всех выполняется неравенство f(x) f() (1). Тогда говорят, что функция f(x) имеет в точке локальный минимум .

Аналогично, если существует число >0 такое, что функция f(x) определена в -окрестности точки , то есть на множестве()=( -,+), и пусть для всех выполняется неравенство f(x) f() (2). Тогда говорят, что функция f(x) имеет в точке локальный максимум.

Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум.

Теорема Ферма. Если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то f ’()=0. (3)

Пусть, например, функция f(x) имеет локальный минимум в точке , тогда в силу (1) для всех выполняется неравенство

f(x)f() (4)

Если , то х-<0, и из условия (4) следует, что

(5)

А если , то выполняется неравенство

(6)

Так как функция f дифференцируема в точке , то существует предел х в левой части неравенства (5), равный f ’_()=f ’(). По свойствам пределов из (5) следует, что

f ’()0 (7)

Аналогично, переходя к пределу в неравенстве (6), получаем

f ’()(8)

Из неравенств (7) и (8) следует, что f ’()=0.

Комментарии