Выпуклость, точки перегиба.

Выпуклость.

а) Понятие выпуклости.

Непрерывная функция называются выпуклой вверх на отрезке [a,b], если для любых точек и отрезка [a,b] выполняется неравенство

(23)

Далее – геометрическая интерпретация для выпуклости, понятная интуитивно из формулы (23).

При этом если неравенство строгое, то функцию называют строго выпуклой вверх на отрезке [a,b].

Непрерывная функция называются выпуклой вниз на отрезке [a,b], если для любых точек и отрезка [a,b] выполняется неравенство

(24)

б) Достаточные условия выпуклости

Теорема 8 Пусть существует на отрезке [a,b], а – на интервале (a,b).

Тогда:

а) если

при всех (25)

то функция выпукла вниз на отрезке [a,b];

б) если

при всех (26)

то функция строго выпукла вниз на отрезке [a,b].

Аналогично, при выполнении на интервале (a,b) условия функция выпукла вверх (строго выпукла вверх) на отрезке [a,b].

Ограничимся доказательством для случая, когда выполняется условие (25). Нужно доказать, что для любых точек , отрезка [a,b] выполняется условие (24). Пусть, например, (при условие (24) выполняется).

Обозначим , , тогда , откуда . Применяя к функции f(x) на отрезках [ и [ формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при n=2, получаем

-,

+,

Складывая эти равенства, находим

+

Так как , то в силу условия (25) и из последнего равенства следует неравенство равносильное неравенству (24).

Замечание 5. Условие не является необходимым условием строгой выпуклости вниз функции . Например, для функции условие нарушается при x=0, так как , однако эта функция строго выпукла вниз.

Точки перегиба.

а) Понятие точки перегиба. Пусть функция f(x) непрерывна в точке и имеет в этой точке либо конечную, либо бесконечную производную ( или Тогда если эта функция при переходе через точку меняет направление выпуклости , т.е. существует такое, что на одном из интервалов она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то называют точкой перегиба функции , а точку (,) – точкой перегиба графика функции .

б)Необходимое условие наличие точки перегиба.

Теорема 9. Если – точка перегиба функции f(x) и если функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки вторую производную, непрерывную в точке , то

(28)

Пусть Тогда в силу непрерывности функции в точке

т.е. или для любого .

По теореме 8 функция либо строго выпукла на интервале (если ), либо строго выпукла вверх на интервале . Но тогда не является точкой перегиба. Следовательно, должно выполнятся условие (28).

в) Достаточные условия наличия точки перегиба.

Теорема 10. (первое достаточное условие)

Если функция f непрерывна в точке , имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если функция меняет знак при переходе через точку , то – точка перегиба функции f(x).

Пусть, например, функция меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку (в точке вторая производная может и не существовать). Это означает, что существует такое, что на интервале выполняется неравенство , а на интервале – неравенство .

Тогда по теореме 8 функция f(x) выпукла вверх на интервале и выпукла вниз на интервале . Следовательно, точка удовлетворяет всем условиям, указанным в определении точки перегиба.

Теорема 11. (второе достаточное условие)

Если , , то – точка перегиба функции f(x).

Так как , то по теореме о промежутках возрастания(убывания) функции через первую производную функция либо строго убывает, либо строго возрастает в точке . По условию , и поэтому имеет разные знаки на интервалах и при некотором , откуда, используя теорему 10, заключаем, что – точка перегиба функции f(x).

Комментарии