Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная.

Пусть функции и определены на интервале (a,b). Если функция имеет производную на интервале (a,b) и если для всех выполняется равенство

(1)

то функция называется первообразной для функции f(x).

Замечание 1. Понятие первообразной можно ввести и для других промежутков (полуинтервала – конечного или бесконечного, отрезка).

Дадим определения первообразной на отрезке. Если функции и определены на отрезке [a,b], причем функция F дифференцируема на интервале (a,b), непрерывна на отрезке [a,b] и для всех выполняется равенство (1), то функцию назовем первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b].

Замечание 2. Если – первообразная для функции на интервале (a,b), то функция при любом значении также является первообразной для .

Справедливо и обратное.

Теорема. Если и – две первообразные для функции f(x) на интервале (a,b), то для всех выполняется равенство

(2)

Обозначим . По определению первообразной в силу условия теоремы для всех выполняются равенства

откуда следует, что функция Ф(x) дифференцируема на интервале (a,b) и для всех имеет место равенство

Согласно следствию 1 из теоремы Лагранжа для всех или т.е. справедливо равенство (2).

Замечание 3. В дальнейшем доказывается, что первообразная существует для любой функции, непрерывной на отрезке (или интервале).

Понятие неопределенного интеграла

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на некотором промежутке называют неопределенным интегралом от функции f на этом промежутке, обозначают символом и пишут

(3)

Здесь F(x) – какая-нибудь первообразная функции f на промежутке , С – произвольная постоянная. Знак называют знаком интеграла, f – подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

Подынтегральное выражение можно записать в виде или dF(x), т.е.

(4)

Операцию нахождения неопределенного интеграла от данной функции, которая является обратной операции дифференцирования, называют интегрированием. Поэтому любую формулу для производной, т.е. формулу вида , можно записать в виде (3).

Свойства неопределенного интеграла

Свойство 1.

(5)

Из равенства (3) следует, что

=d(F(x)+C)=dF(x)

Так как dC=0.

Свойство 2.

(6)

Равенство (6) следует из равенств (3) и (4).

Свойство 3. Если функция f(x) и g(x) имеют на некотором промежутке первообразные, то для любых таких, что , функция также имеет первообразную на этом промежутке, причем

(7)

Пусть F и G – первообразные для функций f и g соответственно, тогда – первообразная для функции , так как . Согласно определению интеграла левая часть (7) состоит из функций вида , а правая часть – из функций вида Так как , то каждая функция вида принадлежит совокупности функций , и наоборот, т.е. по заданному числу С можно найти , а по заданным – число С такое, чтобы выполнялось равенство .

ДЛЯ СПРАВКИ. НЕКОТРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.

1. Метод замены переменного (метод подстановки). [ – подстановка Эйлера.]

2. Метод интегрирования по частям.
   
   
   

Комментарии