Элементы дифференциальной геометрии

Опр: Вектор-функцией в трехмерном пространстве называется функция, для которой (на плоскости аналогично) В Дальнейшем будем рассматривать случай , но все автоматически переносится на ( кроме смешанного и векторного произведения). Если в задан базис , то вектор-функция задается координатным столбцом в этом базисе , где x(t),y(t),z(t) – числовые функции.

Опр: Говорят, что вектор-функция имеет предел при t (α - один из шести предельных символов (a, a+0, a-0 , ),

если ,

тогда по определению, Формально, определение дается в некотором фиксированном базисе, но для другого базиса , S-матрица перехода; для координат столбцов имеет место .Из линейности следует, что определение не зависит от базиса, выбранного базиса. Все дальнейшие определения даются в фиксированном базисе. В силу линейности формул перехода, они не зависят от выбора базиса, можно считать базис таким, как нам удобно (например, в правом ортонормированном базисе)

Опр: Вектор-функция называется непрерывной в точке , если

Это равносильно непрерывности всех координатных функций в точке .

Опр: Если все функции имеют производную, (n-ную производную в точке ), то говорят, что вектор-функция имеет производную (n-ную производную) в точке и

; и

Лемма 1: Если = Док-во по координатам.

Опр: Функция f(x) называется непрерывно дифференцируемой на промежутке I, если она дифференцируема на I и ее производная f’(x) непрерывна во всех внутренних точках I, а в концах, если они принадлежат промежутку, имеет место: ; a и b - концы отрезка.

Опр: Функция а(x) называется дважды дифференцируемой на промежутке I, если во всех внутренних точках I существует конечная вторая производная, а в концах существуют соответствующие односторонние производные от f’(x).

Аналогично n-раз дифференцируемая функция.

Опр: Вектор-функция является непрерывной(дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой) на промежутке I , если таковыми являются все ее координатные функции.

Лемма 2: Пусть вектор-функции непрерывны в точке или на промежутке I;. Тогда непрерывными в точке(на промежутке) являются функции (векторные или скалярные):

(t); ; ;

Док-во: По определению, вектор-функции непрерывны , если непрерывны их координаты.

Исходя из этого распишем каждую операцию. И получим, что все эти операции есть композиции непрерывных функций. След. они тоже явл. Непрерывными функциями.

Лемма3: Пусть вектор- функции имеют конечные производные в точке , ;Тогда в точке :

;

;

;

, где

Док-во аналогично вышеуказанному. расписываем через коорд. функции и по определению.

!!!!Теорема Лагранжа не сохраняется для вектор-функций.

, . . никогда. Значит, тер. Лагранжа неверна.

Лемма 4(Заменитель теоремы Лагранжа для вектор-функций):

Пусть вектор-функция непрерывна на и дифференцируема на . Тогда , a<b

Док-во: Рассмотрим скалярную функцию:

–= По обычной теорема Лагранжа:

Тогда

Если лемма верна при любом .

Если нет, то сократим на нужное неравенство.

Комментарии