Критерий Коши сходимости последовательности.

Последовательность называется фундаментальной, если:

(1)

или

, N-натуральные числа.

(!) фундаментальная последов. - ограничена.

Доказательство:

Пусть , тогда по условию Коши (1) найдется номер такой, что для всех и для всех выполняется неравенство , и, в частности, .

Так как +1 для всех , то при всех , N-натуральные числа, справедливо неравенство , где C=max. Это означает, что -огранич.последов.

Критерий Коши.

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство:

Необходимость. Пусть последовательность имеет конечный предел, равный . По определению предела

. (2)

Полагая в (2) сначала p=n, а затем p=m и используя неравенство для модуля суммы (разности), получаем

.

Следовательно, для любого и для любого выполняется неравенство , т.е. выполняется условие (1) при .

Достаточность. Пусть - фундамент. последов. Докажем, что она имеет конечный предел. По определению фундам.послед.

. (3)

Так как фундам.послед. является ограниченной, то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся последов.. Пусть ее предел равен , т.е.

. (4)

Покажем, что число является пределом исходной последов. . По определению предела (4)

. (5)

Пусть . Фиксируем в (5) номер (такой номер найдется, так как при ). Тогда при и при всех в силу (3) выполняется неравенство

. (6)

Из (5) и (6) следует, что при всех справедливо неравенство

++, т.е. .

Комментарии