Два определения предела функции и их эквивалентность.

а) Определение предела по Коши. Число А называется пределом функции f(x) в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки ,и для каждого найдется число такое, что для всех x, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . В этом случае пишут или при .

или, используя понятие окрестности, в виде

.

Таким образом, число А есть предел функции f(x) в точке , если для любой -окрестности числа А можно найти такую проколотую -окрестность точки , что для всех x, принадлежащих этой -окрестности, соответствующие значения функции содержатся в -окрестности числа А.

б) Определение предела по Гейне. Число А называется пределом функции f(x) в точке , если эта функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. , и для любой последовательности , сходящейся к и такой, что для всех , N-натуральные числа, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

в) Эквивалентность двух определений предела.

Теорема. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

В определениях предела функции f(x) по Коши и по Гейне предполагается, что функция f определена в некоторой проколотой окрестности точки , т.е. существует число такое, что .

а) Пусть число А есть предел функции f в точке по Коши; тогда и

(A). (1)

Рассмотрим произвольную последовательность , сходящуюся к числу и такую, что для всех , N-натуральные числа. Согласно определению предела последовательности для найденного в (1) числа можно указать номер такой, что , откуда в силу условия (1) следует, что . Таким образом, (A), (2), где , причем усл-е (2) выполняется для любой посл-ти {Xn}

такой, что и . Следовательно, , т.е. число А – предел функции f(x) в точке по Гейне.

б) Докажем, что если число А есть предел функции f(x) в точке по Гейне, то это же число является пределом функции f по Коши, т.е. выполняется условие (1). Допустим, что это неверно. Тогда . (3)

Согласно (3) в качестве можно взять любое число из полуинтервала . Возьмем , где , N-натуральные числа, и обозначим . Тогда в силу (3) для любого , N-натуральные числа, выполняются неравенства

, (4)

. (5)

Из (4) следует, что и при всех , а из (5) заключаем, что число А не может быть пределом последовательности . Следовательно, число А не является пределом функции f в точке по Гейне. Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться утверждение (1).

Комментарии