Существование односторонних пределов у монотонной функции.

Теорема:

Если функция f определена и является монотонной на отрезке [a;b], то в каждой точке из интервала (a;b) функция имеет конечные пределы слева и справа, а в точках a и b соответственно правый и левый пределы.

Доказательство:

Пусть функция f(x) возрастает на отрезке [a;b]. Зафиксируем точку , принадлежащую (a;b]. Тогда:

Множество значений функции f(x) на промежутке [a;) ограничено сверху, по теореме о точной верхней грани существует:

, где

Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:

1)

2)

Обозначим .

Имеем:

:

Аналогично доказывается наличие предела справа.

Комментарии