4. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию f(x) называют непрерывной на отрезке [а, b], если она непрерывна в каждой точке интервала (а, b) и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

а) Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Теорема 3 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [а, b], то она ограничена, т. е. (3)

- Предположим противное, тогда (4)

Полагая в (4) С = 1, 2,..., n,..., получим, что (5)

Последовательность ограничена, так как для всех . По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т. е. существуют подпоследовательность и точка такие, что

, (6)

где в силу условия (5) для любого выполняется неравенство

. (7)

Из условий (6) и (7) следует, что [а, b], а из условия (6) в силу непрерывности функции f в точке получаем

. (8)

С другой стороны, утверждение (5) выполняется при всех и, в частности, при n = (k =1,2,...), т. е.

,

откуда следует, что , так как при .

Это противоречит равенству (8), согласно которому последовательность {} имеет конечный предел. Поэтому условие (4) не может выполняться, т. е. справедливо утверждение (3).●

б) Достижимость точных граней.

Теорема 4 (Вейерштрасса). Если функция f непрерывна на отрезке [а,b], то она достигает своей точной верхней и нижней грани,

т. е.

(9)

. (10)

○ Так как непрерывная на отрезке функция f(x) ограничена (теорема 3), т. е. множество значений, принимаемых функцией f на отрезке [а, b], ограничено, то существуют и .

Докажем утверждение (9). Обозначим М = . В силу определения точной верхней грани выполняются условия (11)

(12)

Полагая = 1, , ,..., ,..., получим в силу условия (12) последовательность , где , такую, что для всех выполняются условия

(13)

f()>M - . (14)

Из соотношений (11), (13) и (14) следует, что

откуда получаем

= M. (15)

Как и в теореме 3, из условия (13) следует, что существуют подпоследовательность {} последовательности {} и точка такие, что

, где [а, Ь].

В силу непрерывности функции f в точке

. (16)

С другой стороны, {)} — подпоследовательность последовательности {}, сходящейся, согласно условию (15), к числу М.

Поэтому

. (17)

В силу единственности предела последовательности из (16) и (17)

заключаем, что f() = М = . Утверждение (9) доказано.

Аналогично доказывается утверждение (10). ●

в) Промежуточные значения.

Теорема 5 (теорема Коши о нулях непрерывной функции). Если функция f непрерывна на отрезке [а, b] и принимает в его концах значения разных знаков, т. е. f(a)f(b) < 0, то на отрезке [а,b] имеется

хотя бы один нуль функции f, т. е. (18 )

О Разделим отрезок [а, b] пополам. Пусть d — середина этого отрезка. Если f(d) = 0, то теорема доказана, а если , то в концах одного из отрезков [a, d], [d,b] функция f принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок . Пусть — середина отрезка Возможны два случая:

1. , тогда теорема доказана;

2. , тогда в концах одного из отрезков , функция f принимает значения разных знаков; такой отрезок обозначим .

Продолжая эти рассуждения, получим:

1)либо через конечное число шагов найдется точка такая, что f(с) = 0; тогда справедливо утверждение (18 );

2)либо существует последовательность отрезков такая, что для всех , где An = [an,bn]; эта последовательность отрезков является стягивающейся, так как для любого

и (19)

По теор. Кантора существует точка с, принадлежащая всем отрезкам последовательности , т. е.

. (20)

Докажем, что f(с) = 0. (21)

Предположим, что равенство (21) не выполняется. Тогда либо f(с) > 0, либо f(с) < 0. Пусть, например, f(с) > 0. По свойству сохранения непрерывной функцией знака

. (22)

С другой стороны, из неравенства (19) следует, что при , и поэтому

. (23)

Так как с в силу условия (20), то из (23) следует, что и согласно условию (22) во всех точках отрезка функция f принимает положительные значения. Это противоречит тому,

что в концах каждого из отрезков функция f принимает значения разных знаков.

Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться условие (21). •

Комментарии