Замечательные пределы. Следствия из них

1. .

Лемма. Если и , то .

Рассмотрим в координатной плоскости круг единичного радиуса с центром в точке О. Пусть AOB = x, где . Пусть С – проекция точки В на ось Ох, D – точка пересечения луча ОВ и прямой, перпендикулярной Ох, проходящей через т. А. Тогда BC = sin(x), DA = tg(x). Пусть также - площади треугольника AOB, сектора AOB, треугольника AOD соответственно. Тогда , , . Так как , то . Если , то sin(x)>0 и выполняется неравенство . Так как функции и cos(x) четные, то данное равенство верно и при , ч.т.д.

Воспользуемся данной леммой. В силу непрерывности косинуса . Переходя в соотношении к пределу при получаем равенство .

1. ==1*1=1

2. ===1

3. ===1

4. ===1

2. 

3. Рассмотрим случай, когда . Известно, что последовательность при . Обозначим и . Так как и , то . Из этого, пользуясь определением предела:

. Пусть x – произвольное вещественное число такое, что и n = [x]. Тогда или , . В силу монотонности показательной и степенной функции, получаем: <. Из этого следует

, т.е. по определению предела это означает, что теорема справедлива в случае, когда .

Докажем, что . Положим x=-1–t. Тогда при и = откуда следует, что теорема доказана, так как при и .

Комментарии