Функция y = f(x)называется дифференцируемой в точке , если эта функция определена в дельта-окрестности точки , а приращение дельтаy функции y = f(x) в точке представимо в виде

,

где A=A() не зависит от , a при .

Произведение A называется дифференциалом функции y = f(x) в точке х₀ и обозначается df(x) или dy.

Таким образом,

=dy+o(x) при ,

где

dy=A.

Отметим, что приращение =f(+)–f() можно рассматривать только для таких , при которых точка + принадлежит области определении функции f, в то время как дифференциал dy определён при любых .

Теорема. Для того, чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы эта функция имела производную в точке x₀. При этом дифференциал и производная связаны равенством

dy = f’()

Доказательство. Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x₀, то выполняется условие

и поэтому , где при (), откуда следует, что существует , то есть существует f'() = A.

Обратно: если существует f ’(), то справедливо равенство

,

и поэтому выполняется условие

.

Это означает, что функция дифференцируема в точке x=, причём коэффициент A в формулах

и dy = A ∆x

равен f’(), и поэтому дифференциал записывается в виде

dy = f’()

Комментарии