Геометрический смысл производной.

Если функция y = f (x) имеет производную в точке , то есть существует конечный предел

то существует предельное положение секущей l, заданной уравнением

это означает, что в точке существует касательная к графику функции y = f (x), причём согласно формуле

, где – угловой коэффициент прямой . Так как , где – угол, образуемый касательной с положительным направлением оси абсцисс, то

Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке .

Уравнение касательной к графику функции y = f (x) в точке , получаемое из уравнения заменой на , имеет вид

Геометрический смысл дифференциала.

Если функция y = f (x) дифференцируема при , то существует касательная к графику функции в , задаваемая уравнением

Пусть – точка графика функции f с абсциссой , E и F – точки пересечения прямой с касательной и прямой соответственно. Тогда , , так как ордината точки E равна значению y в уравнении при . Разность ординат точек E и F равна , то есть равна дифференциалу функции f при . Таким образом, дифференциал функции y=f(x) при равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке с абсциссой при изменении аргумента от до . Так как MF=, EF=dy, то согласно формуле , ME=o(x) при .

Комментарии