Непрерывность ф-ции, имеющей производную.

Предложение 1. Для того,чтобы ф-ция f(x) была непрерывна в точке х, необходимо и достаточно, чтобы (Данная запись называется разностной формой усл-я непрерывности).

Д-во: 1)[Необходимость]

2)[Достаточность] =0

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , имеет следующий вид: (1), где А — постоянная, не зависящая от , a - бесконечно малая ф-ция при .

, тогда (1) запишется в виде при

Теорема 1. Чтобы ф-ция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела производную .

Док-во: 1) [Необходимость]. Ф-ция дифференцируема, значит . Разделим обе части этого выражения на и получим . Так как - б.м.ф-ция, то =A

2)[Достаточность] Предел сущ-ет, значит . По определению, , преобразуем и получаем .

Замечание. А= в точке х.

Дифференцирование — операция взятия производной.

Теорема 2. Если ф-ция f(x) дифференцируема в точке х то она непрерывна в этой точке.

Док-во: . Так как - б.м.ф-ция, то . Тогда по предложению 1, функция непрерывна.

Комментарии