11. Билинейные и квадратичные формы. Их координатное представление в конечномерном линейном пространстве. Изменение матриц билинейной и квадратичной форм при изменении базиса.

1. Билинейные функции. Введем следующее Определение. Билинейной функцией или билинейной формой на линейном пространстве L называется функция b от двух векторов
из L линейная по каждому из своих аргументов, т. е. удовлетворяющая (для любых x, у и z и любого числа а) равенствам
b(x + y,z) = b(x, z) + b(y, z), b(ax, y) = ab(x, y),
b(x, y + z) = b(x, y) + b(x, z), b(x, ay) = ab(x, y).

Пусть е = || e₁,...,e_n|| — базис в L. Если и (i,j = 1, ...,n) — координаты векторов х и у, то значение билинейной функции b на этой паре векторов может быть вычислено так:

b(x,y) = b( , ) =
или, окончательно,

b(x,y) =

Здесь чисел =b(e_i,e_j) (значения билинейной функции на всевозможных парах базисных векторов) называются ее коэффициентами в базисе е. Их записывают в виде квадратной матрицы порядка n.

Эта матрица называется матрицей билинейной функции в данном базисе. Как легко проверить умножением матриц, равенство можно написать в матричном виде:
b(x,y)=
При замене базиса матрица билинейной функции, разумеется, меняется. Получим закон ее изменения. Пусть и — координатные столбцы векторов x и у в базисе е' = eS. Тогда = S и = S.

То есть имеем

b(x,y) = =.

Поскольку матрица В' функции b в базисе е' однозначно определена, В' = BS.
Перемножая матрицы, мы получим выражение для элементов В'

(i,j = 1,...,n)

в котором — элементы матрицы перехода S.

Билинейная функция b называется симметричной, если для любой пары векторов b(х,у) = b(у,х).
Таким образом матрица В билинейной функции симметрична.
Обратно, пусть билинейная функция имеет симметричную матрицу. Тогда, поскольку матрица размеров 1 х 1 не меняется при транспонировании,

b(x,y) = ==b(y,x).

Мы доказали

Предложение 1. Билинейная функция симметрична тогда и только тогда, когда симметрична ее матрица.
2. Квадратичные формы.
Определение. Квадратичной формой или квадратичной функцией на линейном пространстве L называется функция к, значение которой на любом векторе х определяется равенством k(х) = b(x,x), где b — симметричная билинейная функция.
По заданной квадратичной форме к однозначно определяется соответствующая симметричная билинейная функция b. Действительно, пусть х и у — произвольные векторы. Тогда
k(х + у) = b(х + у, х + у) = b(х, х) + b(х, у) + b(у, х) + b(у, у).
Отсюда, используя b(y,x) = b(x,y), получаем, что значение b на любых векторах выражается через значения k.
Матрицей квадратичной формы называется матрица соответствующей билинейной функции.
Из ранее выведенного мы имеем следующее выражение значения квадратичной формы через координатный столбец вектора: k(x) = .
Замена базиса в данном случае очевидным образом следует из замены базиса в билинейной форме.

Комментарии