Построение ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид. Одновременное приведение к диагональному виду пары квадратичных форм, одна из которых является знакоопределенной.

Определение. Линейное преобразование А называется присоединенным к билинейной функции Ь, если для любых векторов х и у из выполнено равенство b(x,y)=(x,A(y)).

Предложение 2. Каждая билинейная функция имеет одно-единственное присоединенное преобразование.

Предложение 3. Для симметричных билинейных функций и только для них присоединенное преобразование является самосопряженным.

Ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.

Теорема 1. В евклидовом пространстве для каждой квадратичной формы существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид.

Теорема почти очевидна: базисом, существование которого утверждается, является ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного преобразования, присоединенного к квадратичной форме. В нем В=А и А — диагональная матрица.

Теорема 2. Пусть в линейном пространстве заданы две квадратичные формы k и h, причем h положительно определенная. Тогда в существует базис, в котором обе формы имеют диагональный вид.

Для доказательства введем в скалярное произведение, приняв h за основную квадратичную форму. По отношению к этому скалярному произведению ортонормированными будут те базисы, в которых h имеет канонический вид. По теореме 1 для формы k существует ортонормированный базис, в котором она имеет диагональный вид. Это и есть базис, существование которого мы доказываем.

1способ

Чтобы привести две квадратичные формы к диагональному виду в одном и том же базисе, можно сначала привести к каноническому виду форму h и найти матрицу К' формы k в полученном базисе. Этим будет осуществлен переход к базису, ортонормированному по

отношению к вспомогательному скалярному произведению. Линейное преобразование, имеющее ту же матрицу К', является присоединенным к форме k. Следует найти его ортонормированный базис из собственных векторов, вычисляя скалярное произведение по формуле (x,y)=. В этом базисе матрица формы h будет по-прежнему единичной, а матрица К" формы k будет диагональной.

2 способ

Тот же результат можно получить и иначе. Пусть K и H —матрицы квадратичных форм в исходном базисе е. Матрица H является матрицей Грама базиса е для вспомогательного скалярного произведения. Поэтому преобразование, присоединенное к форме к в базисе е, имеет матрицу А = K. Напишем его характеристический многочлен det(K-Е) в виде det[ (K-H)]. Так как det, характеристическое уравнение имеет те же корни, что и уравнение

det(K-H)=0,

называемое обобщенным характеристическим уравнением. Для каждого из его корней система уравнений собственного подпространства (K-Е) =о эквивалентна системе

(K-H) =о.

Для каждого корня фундаментальную систему решений такой системы уравнений надо ортогонализовать и нормировать, находя скалярное произведение по формуле (x,y)= с матрицей Грама H. Объединяя все так полученные ортонормированные базисы собственных подпространств, мы получаем базис е'. Он ортонормирован относительно

вспомогательного скалярного произведения, и потому форма h в нем имеет канонический вид. Так как он состоит из собственных векторов преобразования, присоединенного к k, эта форма будет иметь диагональный вид в базисе е'.

Комментарии