Понятие
определенного интеграла. Пусть функция одного переменного f(x)
определена на отрезке
и пусть
- совокупность точек этого отрезка таких, что a=
<
=b.
Назовем
эту совокупность точек разбиением отрезка
,
обозначим разбиение
,
а отрезки
,
где
,
назовем отрезками разбиения T.
Пусть
- длина i-го отрезка разбиения T.
Тогда число
назовем мелкостью разбиения T
(или диаметром этого разбиения). Если
,
то совокупность точек
назовем выборкой и обозначим
.
Сумму
=
(1)
назовем интегральной
суммой для функции f при
заданном разбиении T и
фиксированной выборке
.
Определение.
Число J называется
определенным интегралом от функции f
на отрезке
и обозначается
,
если для любого
существует такое число
,
что для любого разбиения T ,
мелкость которого
,и
для любой выборки
выполняется равенство
.
С помощью символов это определение можно записать так:
>0:
(2)
Часто утверждение (2)
записывают в виде
при
или
,
имея ввиду, что предел не зависит от выборки
.
Если существует число
J, определяемое условиями
(2), то функцию f называют
интегрируемой (по Риману) на отрезке
и говорят, что существует интеграл от функции f
на отрезке
.
Свойства: линейность и аддитивность относительно отрезков интегрирования.
Линейность.
Если
функции
интегрируемы на отрезке
,
то для любых чисел
,
функция
также
интегрируема на отрезке
и
=
.
Аддитивность.
Если
функция f
интегрируема на отрезках
и
,
то она интегрируема и на отрезке
,
причем
=
+
,
.