12. Интегрируемость произведения двух интегрируемых на отрезке функций.
Теорема. Пусть функции f и g удовлетворяют следующим условиям:
1) f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b];
2)
m,M:
x
[a,b]
;
(1)
3) функция g
не меняет своего знака на отрезке [a,b],
т.е. либо
при
(*),
либо
при
(**). Тогда
:
=
.
(2)
Док-во: Пусть
выполняется условие (*). Тогда из (1) следует, что
x
[a,b]
mg(x)
f(x)g(x)
Mg(x).
Так как функции f и g
интегрируемы на отрезке [a,b],
то функция fg также интегрируема на
этом отрезке и согласно правилу оценки интегралов:
.
(3)
Заметим, что если
=0,
то из (3) следует, что
=0,
и поэтому (2) в этом случае выполняется при любом
.
Пусть
,
тогда
>0
в силу (*). Поэтому (3) равносильно:
,
где
/
.
Отсюда следует равенство (2), где
.
Аналогично для случая (**), так как при замене g(x)
на –g(x)
равенство (2) сохраняется, ч.т.д.
Следствие. Если функция
f(x)
непрерывна, а функция g(x)
интегрируема на отрезке
и не меняет знака, то
=
.
В частности, если g(x)=1, то
=f(c)(b-a).