№ 16 .Интегральная теорема о среднем.

Теорема . : Пусть функции f и g удовлетворяют следующим условиям :

1. f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b] ;

2. (20)

3. функция g не меняет знака на отрезке [a,b], т.е. либо

   при (21)

   либо

при

Тогда

f(x)g(x)dx=(22)

○ Пусть например, выполняется условие (21) . Тогда из неравенства (21) следует ,что

mg(x)(23)

Так как функции f и g интегрируемы на [a,b], то функция f g также интегрируема на этом отрезке и согласно правилу оценки интегралов

f(x)g(x)dx(24)

Если , то из неравенств (24) следует ,что и поэтому неравенство (22) в этом случае выполняется при любом .

Пусть , тогда в силу (21). Поэтому неравенство (24) равносильно следующему :

(25)

где

=(26)

Из (26) следует равенство (22), где в силу неравенства (25). Теорема доказана для случая ,когда . Эта теорема справедлива и когда , так как при замене g(x) на -g(x) равенство (22) сохраняется.●

Следствие(сама интег. Теор.о среднем) : Если функция f(x) непрерывна , а функция g(x) интегрируема на отрезке и не меняет знака , то

f(x)g(x)dx=f(c)(27)

В частности , если g(x) = 1 , то

f(x)dx=f(c)(b-a)(28)

○Пусть , M=. По теореме Вейерштрасса

и выполняется равенство (20). Если – число ,определяемое формулой (22), то , и по теореме о промежуточных значениях непрерывной функции получаем

Поэтому формулу (22) можно записать в виде (27).●

Замечания : Если f(x)>0 то равенство (28) означает ,что площадь криволинейной трапеции над отрезком [a,b] равна площади прямоугольника с основанием длины

( b-a ) и высотой , равной значению , равной значению функции f в некоторой точке отрезка [a,b].

Комментарии