№ 17 Интеграл с переменным верхним пределом.
Непрерывность и дифференцируемость интеграла.
Интеграл с переменным верхним
пределом. Если функция f
интегрируема
на [a,b],
то
для любого
существует
интеграл
(1)
который называется интегралом с переменным верхним пределом.
а) Непрерывность интеграла.
Если функция f интегрируема на отрезке [a,b], то функция F(x) непрерывна на этом отрезке .
○Пусть
и
.Докажем,что
В силу свойств интеграла ,связанных с отрезками интегрирования
–
(2)
Так как функция f интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена , т.е.
(3)
Согласно правилу оценки интегралов из (2) и (3) следует ,что
откуда
получаем :
при
,
т.е.
функция F
непрерывна
в точке x
. Поскольку
x
—
произвольная точка отрезка [a,b],
то
функция F
непрерывна
на [a,b].●
б) Дифференцируемость.
Если
функция f
интегрируема
на отрезке [a,b]
и
непрерывна в точке
,
то
функция
дифференцируема
в точке
,
причем
(4)
○
Пусть
и
;
тогда при
справедливо
неравенство (2).
Докажем,что
при
x->0(5)
Преобразуем
,
пользуясь тем,что
.В
силу свойств интеграла
f(t)dt–
(f(t)-f(
))dt
откуда
(6)
По
условию функция f
непрерывна
в точке
,
то
есть для любого
существует
число
,
такое что для всех
выполняется неравенство
,(7)
где.
Пусть
;
тогда
,так
как
,
где l
–
отрезок с концами
.
Поэтому для всех
,
выполняется равенство (7).Но тогда из (6) следует ,что
Таким
образом , для любого
найдется
такое,что
для всех
,
удовлетворяющих условию
,выполняется
неравенство
,
то есть выполняется условие (5). Это значит что верно (4).●