1) Метод замены переменного в определенном интеграле.
Теорема
5. Пусть функция f(x)
непрерывна на интервале (, а функция
имеет непрерывную производную на
интервале
, причем
при всех
.
Тогда
если ,
,
,
, то справедлива формула замены
переменного в определенном интеграле
Так как
,
, а функция f(x) непрерывна
на интервале
, то по формуле Ньютона-Лейбница находим
=Ф(b)‑Ф(a)
Где для всех
.
Функция
является первообразной для функции,
стоящей под знаком интеграла в правой части формулы условия теоремы, так как
Применяя к функции формулу Ньютона-Лейбница и учитывая, что
=b,
получаем
=Ф(b)‑Ф(a)
Из
последнего и первого равенств доказательства следует формула замены переменного
в определенном интеграле.
Замечание
5.
При условиях теоремы 5 формула замены переменного в определенном интеграле
справедлива как при , так и при
Формула
замены переменного остается в силе и в случае, когда функции f и заданы соответственно на отрезках
и
, причем множество значений функции
содержится на отрезке
, где
. В этом случае под производными сложной
функции
и концах отрезка
понимаются соответствующие односторонние
производные.
2)Интегрирование по частям в определенном интеграле.
Терема
6. Если функции u(x) и v(x) имеют
на отрезке непрерывные производные, то справедлива
формула интегрирования по частям
Интегрируя на отрезке
тождество
где - непрерывные функции, получаем
По
формуле Ньютона-Лейбница находим
Поэтому предпоследнее равенство можно записать в виде формулы интегрирования по частям.
Замечание
6. Учитывая, что v’dx=dv, u’dx=du, формулу
иногда записывают в виде