Пусть
{}
— последовательность точек метрического пространства X.
Говорят, что последовательность точек {
}
сходится к точке а (имеет предел а) и пишут
=
а, если
=0. Последовательность точек {
}
называется ограниченной, если
и
такие, что для любого
выполнено неравенство
.
Лемма
1.
Если последовательность {}
имеет предел, то она ограничена.
Лемма
2.
Последовательность {}
не может сходиться к двум различным точкам.
Лемма
3.
Для того чтобы последовательность точек {}
метрического пространства
,
где
,
сходилась к пределу а=(
),
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
,
i=
.
Лемма
4.
Если последовательность точек {}
метрического пространства X
сходится, то она фундаментальна.
Теорема
1.
Пространство
полное.
Док-во.
Пусть {}
— фундаментальная последовательность точек в
.
Если
,
то числовые последовательности {
}
фундаментальны при i=
.
В самом деле,
такое, что для любых k,m
N
выполнено неравенство
.
Но
,
i=
.
Числовая
последовательность {}
в силу критерия Коши является сходящейся при i=
.
По лемме 3 сходится и последовательность точек {
}
в
.
Компакт в метрическом пространстве.
Множество М в метрическом пространстве X называется компактом в X, если из
любой
последовательности точек
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке,
принадлежащей множеству М. Например, отрезок [а,
b]
есть компакт в R,
а промежуток [а,
b)
не является компактом в R.
На
пространство
обобщается теорема
Больцано-Вейерштрасса.
Теорема
5.
Из любой ограниченной последовательности точек пространства
можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.
Док-во.
Ограничимся случаем пространства
.
В общем случае доказательство аналогично. Пусть
—
произвольная ограниченная последовательность точек пространства
.
Числовая последовательность {
}
ограничена. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность {
}.
Тогда у последовательности точек
последовательность первых координат сходится, а последовательность
вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему
Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой
последовательности
{}
сходящуюся подпоследовательность {
}.
У последовательности точек {
}
сходится и последовательность первых координат, и последовательность
вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек {
}
сходится в
.
Следствие.
Для
того чтобы множество
было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество М
было ограниченным и замкнутым.
Док-во
Необходимость доказывается. Докажем достаточность. Пусть множество М
ограничено и замкнуто в пространстве
.
Возьмем произвольную последовательность точек
.
Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить
подпоследовательность {
},
сходящуюся к точке а.
В силу замкнутости множества М
точка
.