Криволинейный интеграл первого рода и его свойства.
Г={r=r(t),
}
(1), r(t)
– непрерывно диф-ма на [
;
],
в каждой точке кривой опр-на касательная.
Уравнение
=
(
),
a
b
(2) — задает ту же самую кривую, что и (1), если оно
получено допустимой заменой параметра. Говорят, что замена параметра
t=t(
),
a
b
– допустима, если: а)найдется такое разбиение отрезка
[a;b] точками
,...,
,
что ф-ция t(
)
явл-ся непрерывно диф-мой на каждом из интервалов (
;
)
i=
б)t'(
)>0
на каждом из интервалов (
;
)
в)t(
)
непр. на [a;b], причем t(a)=
,
t(b)=
,
r(t(
))=
.
Обратная замена параметра
=
(t)
также удовлетворяет усл-ям а)-в).
Уравнение r=r(+
-t),
(3)
опр-ет кривую -Г, ориентированную
противоположно Г. Её начало совпадает с концом Г, а конец — с
началом. Векторы касательных Г и -Г в каждой точке имеют
противоположное напр-е.
Пусть на некотором мн-ве, содержащем кривую Г, задана
непрерывная ф-ция R(x,y,z). Если гладкая
кривая Г задана ур-ем (1), то опр-ный интеграл
R(x(t),
y(t), z(t))
dt
— будет наз-ся криволинейным интегралом 1ого рода от
ф-ции R(x,y,z) по кривой Г и обозначаться
R(x,y,z)ds=
R(x(t),
y(t), z(t))
dt.
(4)
Свойство 1. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.
Д-во: Предположим, совершен переход от ур-я (1) к ур-ю
(2) при помощи допустимой замены параметра. Делаем в инт-ле (4)
замену переменной t=t(),
учитываем что t'(
)>0
на каждом из интервалов (
;
)
и получаем:
R(x(t),
y(t), z(t))
dt=
R(x(t(
)),
y(t(
)),
z(t(
)))
t'(
)d
=
R(
,
,
)
d
.
После замены параметра можно получить и несобственный
интеграл с особыми точками
,...,
,
но его форма такая же, как и у инт-ла (4).
Свойство 2. Криволинейный интеграл первого рода не
зависит от ориентации кривой Г, т.е
R(x,y,z)ds=
R(x,y,z)ds.
Д-во: Кривую -Г можно задать ур-ем (3). Делаем в (4)
замену переменной
=
+
-t,
получаем
R(x,y,z)ds=
R(x(t),
y(t), z(t))
dt=
R(x(
+
-t),
y(
+
-t),
z(
+
-t))
d
=
R(x,y,z)ds.
Свойство 3. Криволинейный интеграл первого рода
аддитивен относительно кривой: если Г=(,...,
)
то
R(x,y,z)ds=
R(x,y,z)ds.
Д-во: Данное св-во следует из опр-я (4) криволинейного интеграла и свойства аддитивности определенного интеграла относительно обл-ти интегрирования.