Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами.

Теорема 1. Если члены ряда неотрицательны, т. е. , то для сходимости этого ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм {} была ограничена сверху, т. е. =M

Признак сравнения.

Теорема 3. Если для всех выполняется условие , то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

Док-во. Из сходимости ряда (1) с неотрицательными членами по теореме 1 следует ограниченность сверху последовательности его частичных сумм, т. е.

M,

откуда, используя условие , получаем

M для всех .

Таким образом, последовательность частичных сумм ряда (2) ограничена сверху, и в силу теоремы 1 ряд (2) сходится.

Если ряд (2) расходится, то ряд (1) также должен расходиться, так как в случае сходимости ряда (1) сходился бы ряд (2).

Теорема 3 остается в силе, если условие выполняется при всех , где m — заданный номер.

Следствие 1. Если >0 и >0 для всех и ~ при , т. е. =1, то ряды (1) и (2) либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Следствие 2. Если члены рядов (1) и (2) удовлетворяют при всех условиям >0, >0, , то из сходимости ряда (1) следует сходимость ряда (2), а из расходимости ряда (2) следует расходимость ряда (1).

Док-во. Полагая k=m,m+1 ,..., n -1 и перемножая соответствующие неравенства, получаем

......

или , откуда следует, что при всех +1 выполняется неравенство , где А= > 0. Для завершения доказательства следует применить теорему 3.

Комментарии