Признак Д'Аламбера.

Теорема 4. Пусть дан ряд , где >0 для всех (1).

Тогда

а) если существует число q(0,1) и номер m такие, что для всех выполняется неравенство

, то ряд (1) сходится;

б) если существует номер m такой, что для всех выполняется неравенство то ряд (1) расходится.

Док-во. а) Из условия следует, что , , и поэтому для любого .

Так как ряд , где 0<q<1, сходится и >0 при всех , то по признаку сравнения сходится ряд (2), откуда следует сходимость ряда (1), получаемого из ряда (2) добавлением конечного числа членов ,...,.

б) Из условия следует, что , , и т.д. Следовательно,

> 0 для всех .

Поэтому ряд (2), а вместе с ним и ряд (1) расходятся, так как в силу условия выше 0 при (не выполняется необходимое условие сходимости ряда). •

Следствие (признак Д'Аламбера "в предельной форме"). Если существует

,

то ряд (1) с положительными членами сходится при <1 и расходится при >1.

Признак Коши.

Теорема 5. Пусть дан ряд где 0 для всех (3).

Тогда:

а) если существуют число q(0,1) и номер m такие, что для всех выполняется неравенство , то ряд (3) сходится;

б) если существует номер m такой, что для всех выполняется неравенство , то ряд (3) расходится.

Док-во

а) Из условия следует, что при всех выполняется неравенство , где 0<q<1. По признаку сравнения из сходимости ряда следует сходимость ряда . Поэтому ряд (3) также сходится.

б) Если , то при всех , и поэтому ряд (3) расходится.

Следствие (признак Коши "в предельной форме"). Если () и существует , то при <1 ряд (3) сходится, а при >1 расходится.

Комментарии