Свойство
4. Если ряд
(1) абсолютно сходится, то и ряд
(2), полученный перестановкой членов ряда (1), абсолютно сходится,
причем сумма
ряда (2) равна сумме S ряда (1).
Док-во.
а)
Докажем, что ряд (2) абсолютно сходится, т. е. сходится ряд
(3).
Так как ряд (2) отличается от ряда (1) только порядком расположения членов, то
:
.
Обозначим
,
.
Тогда
и для всех
выполняется
неравенство
A,
где
A
— сумма ряда
.
Отсюда по теореме
1 из вопроса 29
следует сходимость ряда (3).
б)
Докажем, что S=.
Из
сходимости рядов (1) и
следует, что для любого
>0
найдется номер N=
такой, что для всех
и для всех
выполняются неравенства
<
(5),
<
(4).
Пусть
—
наибольший из номеров, которые члены
ряда (1) имеют в ряде (2), т. е.
= max
(
),
где
(k
=
).
Тогда
.
Обозначим
n-ю
частную сумму ряда (2) через
и покажем, что для всех n>
выполняется неравенство |S-
|<
(7).
Так
как для любого n>
сумма
=
.
содержит члены
ряда (1) согласно выбору числа
,
то разность
=
=
-
,
где
n>
,
может содержать лишь такие члены ряда (1), номера которых больше N.
Пусть
N'
— наибольший из номеров, которые имеют в ряде (1) члены ряда
(2), входящие в
при n
>N,
т. е. N'
= max
(
),
где
(j
=
).
Тогда
N'
= N+p,
.
Поэтому
разность
представляет собой сумму таких членов (не обязательно всех) ряда (1),
номера которых больше N,
но не превосходят N'
= N
+ р. Следовательно,
<
(6).
в силу условия (4).
Из
равенства S —
= S —
—
(
—
)
= S —
—
в силу (5) и (6) следует, что для всех
выполняется неравенство (7). Это означает, что
=S,
т. е. справедливо равенство S=
.