33. Теорема об умножении абсолютно сходящихся рядов.
Если ряды (1) и
(2) абсолютно сходятся, то и ряд
(3) , составленный из всевозможных
попарных произведений членов рядов (1) и (2), абсолютно сходится, причем сумма
ряда (3) равна произведению сумм рядов (1) и (2).
а) Докажем, что сходится ряд (4). Пусть
- m-я
частичная сумма ряда (4), A и B
– суммы рядов
и
соответственно. Тогда
, т.е. частичные суммы ряда (4)
ограничены сверху и по теореме из пункта 29 ряд (4) сходится.
б) Докажем, что , где τ, S,
σ – суммы рядов (3), (1) и (2) соответственно. Заметим, что все члены ряда
(3) содержатся в следующей таблице:
1. |
2. |
5. |
10. |
… |
4. |
3. |
6. |
11. |
… |
9. |
8. |
7. |
12. |
… |
16. |
15. |
14. |
13. |
… |
… |
… |
… |
… |
… |
Занумеруем элементы этой таблицы,
присваивая им номера, указанные в таблице. В этом случае получается ряд +(
+
+
+
+… (5), образованный из всевозможных
попарных произведений членов рядов (1) и (2), т.е. ряд вида (3)
По доказанному выше всякий ряд вида (3) и, в частности, ряд (5) абсолютно сходится и, значит, сходится, а сумма ряда (3) не зависит от порядка расположения его членов. Поэтому ряд (5) сходится, а его сумма равна τ.
Пусть - n-е
частичные суммы рядов (1), (2) и (5) соответственно, тогда
. Так как
при n
, то
. C
другой стороны, {
подпоследовательность сходящейся к числу
последовательности
, и и поэтому
при n
. Отсюда следует
.•