Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
Теорема. Если для функционального ряда
(1)
можно указать такой сходящийся числовой ряд
,
что для всех n
и
для всех
выполняется
условие
(2),
то ряд (1) сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.
Д-во: По усл-ю (2) для любого n,
любого p
и для каждого
вы-ся
нер-во:
(3).
Из сх-ти ряда
следует что для него вып. усл-е Коши:
n
p
<
(4).
Из (3) и (4) следует, что для ряда (1) вып. Усл-е Коши
на мн-ве Е, в силу этого по критерию Коши — ряд сх-ся
равномерно на мн-ве Е. Абсолютная сх-ть ряда для каждого
следует
из правой части (3).
Следствие: Если сх-ся ряд
,
где
=sup
,
,
то ряд (2) сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.