Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

Теорема. Если для функционального ряда (1) можно указать такой сходящийся числовой ряд , что для всех nи для всех выполняется условие (2), то ряд (1) сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.

Д-во: По усл-ю (2) для любого n, любого p и для каждого вы-ся нер-во: (3). Из сх-ти ряда следует что для него вып. усл-е Коши: np<(4).

Из (3) и (4) следует, что для ряда (1) вып. Усл-е Коши на мн-ве Е, в силу этого по критерию Коши — ряд сх-ся равномерно на мн-ве Е. Абсолютная сх-ть ряда для каждого следует из правой части (3).

Следствие: Если сх-ся ряд , где =sup, , то ряд (2) сх-ся абсолютно и равномерно на мн-ве Е.

Комментарии