Сказать "Спасибо"
Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
Теорема.
Если все члены ряда
(1)
- непрерывные на [a;b]
ф-ции,
а ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b],
то
его сумма S(x)
также
непрерывна на отрезке [a;b].
Док-во:
Пусть
-
произв.точка [a;b].
Для
опр-ности будем считать, что
(a;b).
Нужно
док-ть, что S(x)=
непрерывна в
,
т.е
<
(2),
[a;b].
По
усл-ю, ряд (1) равномерно сх-ся на [a;b],
т.е
n
[a;b]
<
(3),
где
=
.
Фиксируем
номер
,
тогда при n=
из
(3) получаем:
<(4).
В
частности, при x=
находим
<(5).
Ф-ция
(x)
непрерывна
в
как сумма конечного числа непрерывных ф-ций. По опр-ю непрерывности
[a;b]
<(6).
Восп.
рав-вом S(x)-S()=(S(x)-(x))+(
(x)-
())+(()-S()).
Отсюда
получаем, исп. (4)-(6) и нер-во треугольника :
<,
для
[a;b],
т.е
справедливо утв-е (2). В силу произвольности точки
ф-ция S(x)
непрерывна
на отрезке [a;b].
