Почленное интегрирование функциональных рядов и последовательностей.

Будем рассматривать ряд (1).

Теорема. Если все члены ряда (1) — непрерывные на отрезке [a;b] ф-ции, а ряд (1) сходится равномерно на [a;b], то ряд также равномерно сх-ся на [a;b], и если S(x)=(2), то =, [a;b](3), т.е. ряд(2) можно почленно интегрировать.

Д-во: По усл-ю ряд (2) сх-ся равномерно к S(x) на [a;b], т.е. =S(x), [a;b]. Это означает, что [a;b]<(4). Пусть (x)=, а (x)=-n-ая частичная сумма ряда (1). Ф-ции (x), , по усл-ю непрерывны на отрезке [a;b] и поэтому они интегрируемы на [a;b] . Ф-ция S(x) также интегрируема на [a;b], т.к. она непрерывна на этом отрезке. По св-вам интеграла получаем: (x)==. Следовательно, (x)-(x)=, откуда в силу усл-я (4) получаем <=, это нер-во выполняется для всех и для всех [a;b]. Это означает, что ряд (1) сходится равномерно на [a;b] и выполняется рав-во (3).

Замечание. Рав-во (3) остается в силе, если заменить a на c, x на d, где , т.е. ряд (2) можно почленно интегрировать на любом отрезке [c;d] содержащемся в отрезке [a;b].

Комментарии