41. Почленное дифференцирование функциональных рядов.

Теорема. Если ф-ции , имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], ряд (1) сх-ся равномерно на отрезке [a;b], а ряд (2) сх-ся хотя бы в одной точке [a;b], т.е. сх-ся ряд , то ряд(2) сх-ся равномерно на отрезке [a;b] и его можно почленно дифференцировать, то есть S'(x)=(3), где S(x)=(4).

Док-во: Обозначим(х)= (сумма ряда (1)). Этот ряд можно почленно интегрировать : =(5), где , х принадлежит отрезку [a;b], а ряд (5) равномерно сх-ся на [a;b]. Так как =(x)-, то =(6), где (x)=(x)-(7). Ряд(6) сх-ся равномерно, а ряд (2) сх-ся(а значит и равномерно сх-ся на [a;b]), поэтому ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b]. Из (6), (7) и (3) следует: =S(x)-S() (8). Т.к. ф-ция (t) непрерывна на [a;b], то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть рав-ва (8) имеет производную, равную (х). След-но, правая часть (8) — дифференцируемая ф-ция, а её производная равна S'(x). Доказано, что (х)=S'(x), то есть справедливо рав-во (3) для всех х из отрезка [a;b].

Комментарии