Остаточный член в формуле Тейлора.

Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке  . Тогда ей можно поставить в соответствие ряд            (1). Обозначим

                                     (5)

                                                    (6)

и назовём    остаточным членом формулы Тейлора для функции f в точке   . Если существует

                                                              (7)

то согласно определению сходимости ряда ряд (1) сходится к функции f(x) в точке x, т.е.

f(x)=.                                        (8)

Т е о р е м а  1. Если функции f(x), f'(x),…,   непрерывны на интервале  , где , то для любого  остаточный член формулы Тейлора для функции f в точке  можно представить:

а) в интегральной форме

(t)dt                                (9)

б) в форме Лагранжа

,                                           (10)

где  принадлежит интервалу с концами  и x.

○  Формула(10) была доказана в 18. Докажем формулу (9) методом индукции. В силу равенств (5) и (6) нужно показать, что

f(x)-=+(t)dt                   (11)

Воспользуемся  равенством f'(t)dt=f(x)- и преобразуем его левую часть с помощью формулы интегрирования по частям:

f'(t)d(x-t) = [-f'(x)(x-t)] =  (x-t)f''(t)dt .

Таким образом,

f(x)-(x-t)f''(t)dt,

т.е. формула (11) верна при n=1. Предположим, что формула (11) является верной для номера n-1, т.е.

f(x)- (t)dt.     (12)

Преобразуем интеграл в правой части формулы (12), применив формулу интегрирования по частям:

 (t)dt=-  = += +

Отсюда следует, что равенство (12) можно записать в виде (11). Формула (9) доказана. ●