5. Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных. Первый дифференциал и инвариантность его формы.
Теорема. Пусть функции
,…,
дифференцируемы в точке
=(
,…,
)
,
=(
,…,
)
и функция f(y)=f(
,…,
)
дифференцируема в точке
.
Тогда сложная функция
Ф(х)=f(,…,
)
дифференцируема в точке
,
причем при х
Ф(х)-Ф()=
(
-
)+о(
),
=
,
i=
.
Док-во: Так как функция
f(y)
дифференцируема в точке
,
то найдутся функции
,
,
непрерывные в точке
=(
,…,
)
и такие, что f(y)-f(
)=
,
=
.
Пользуемся тем, что дифференцируемая в точке функция непрерывна в этой
точке, а также теоремой о непрерывности сложной функции, получаем:
=
,
непрерывны в точке
,
причем
=
=
=
.
Подставляя в полученное
,…,
и используя вышеполученные соотношения, получаем:
Ф(х)-Ф()=
(
-
).
Но функции
,
,
дифференцируемы в точке
,
поэтому найдутся такие непрерывные в точке
функции
,
что:
-
=
(
-
),
=
,
i=
,
.
Подставляя в предыдущее соотношение, получаем:
Ф(х)-Ф()=
(
-
),
=
.
Так как функции
и
непрерывны в точке
,
то и функции
непрерывны в точке
.
Значит, сложная функция Ф(х) дифференцируема в точке
,
ч.т.д.
Пусть функция f(x)
дифференцируема в точке
.
Тогда при
ее можно записать в виде: f(x)=f(
)+
(
)(
-
)+о(
).
Положим по определению
=
-
.
Если функция f(x)
дифференцируема в точке
,
то линейную форму относительно приращений независимых переменных
=
назовем первым дифференциалом функции f(x)
в точке
.
Иначе можно записать как:
f(x)=f()+df(
)+о(
).
Ищем дифференциал
сложной функции. Пусть функции
,…,
дифференцируемы в точке
,
а функция f(
,…,
)
дифференцируема в точке
=(
,…,
).
Тогда функция Ф(х)=f(
,…,
)
дифференцируема в точке
,
получаем: dФ(
)=df(
,…,
)=
=
=
=
,
=
.
Итак, df(
,…,
)=
.
(*)
Если бы
,…,
были независимыми переменными, то
отличился бы от дифференциала сложной функции (*) только тем, что в
выражении
- дифференциалы функции
,
а в
=
,
- дифференциалы независимых переменных. Форма первого дифференциала
инварианта относительно замены переменных. Инвариантность помогает не
задумываться о независимости переменных в варианте записи через
.
Пусть функция f(x)
дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества G.
Тогда в каждой точке
можно вычислить дифференциал
=
.
Он будет функцией 2n переменных.