Теорема о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования.
Опр: Для функции двух переменных :
,если
эти производные существуют.
Теорема о независимости смешанной частной производной от порядка дифференцирования.
Пусть f(x,
у) такова, что в
существуют
,
причем
непрерывны
в
.
Тогда
Док-во:
Рассмотрим
выражение:
=
-
-
Рассмотрим
функцию
.Она
дифференцируема на
=
=
по т.Лагранжа =
;
-
=
,
-диф.
На
.
По th Лагранжа:
=
,
,
W,
По теореме о двух милиционерах:
lim,
lim
Доопределим
.Получим
функции непрер. в (0,0), т. к.
непрерывна
в точке
,
то
lim
W
Если преобразование W начать с переменной х:
,
Ф(x)=
то
аналогично:
=
;
Следовательно,
при
Отсюда следует утверждение теоремы. ЧТД.