9. Непрерывные и регулярные отображения в евклидовом пространстве Еm. Теорема о локальной обратимости регулярного отображения.
Если
,
то множество
{y:y=f(x),
x
}
называются образом множества
при отображении f. Если
,
то множество
={x:f(x)
}
называется прообразом множества
.
Пусть
G
есть открытое множество. Отображение f:G
называется непрерывным в точке
,
если
такое, что
таких, что
,
выполнено неравенство
.
Отображение
f:G
называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке множества
G.
Лемма
1. Если G есть открытое множество, а
f:G-непрерывное
отображение, то прообраз каждого открытого множества
есть открытое множество.
Теорема
1. Пусть G-открытое множество в
,
а отображение f:G
регулярно. Тогда в каждой точке
оно локально регулярно обратимо, т.е.
найдутся такие окрестности А
и В
,
где
,
что отображение f:A(
)
B(
)
будет взаимно однозначным, причем обратное отображение
регулярно.
Рассмотри
в G
систему уравнений
=0,
(25)
Пусть
-произвольная
точка множества G и
.
Тогда функции
непрерывно
дифференцируемы в G
и
,
.
Так как отображение f регулярно, то
=(-1
0.
Для системы уравнений (25) выполнены все условия теоремы 2 о неявных функциях. Поэтому найдутся такие клеточные окрестности
K()={x:|
|
,
},
K(
)
,
Q()={y:|
|
,
},
Q(
)
,
что
в K()
Q(
)
система уравнений (25) определяет переменные
как неявные непрерывно дифференцируемые функции переменных
:
,…,
,
,
,
,
.
(26)
Пусть
B()
есть внутренность Q(
):
B()={y:|
|
,
},
Вследствие
леммы 1 прообраз открытого множества B()
при непрерывном отображении f есть открытое
множество, причем в силу условий (26) это множество содержит точку
.
Обозначим прообраз
через А(
)
на окрестность B(
)
будет взаимно однозначным, и обратное отображение
:
B(
)
А(
),
определяемое формулами (26), будет непрерывно дифференцируемым.
Докажем
регулярность обратного отображения
.
Так как
,…,
0,
,
то, дифференцируя эти тождества по переменным
,
получаем
=
=
=
(27)
Из равенств (27) и из теоремы об умножении определителей следует, что
,
y=f(x),
.
Следствие.
Если f:G
есть регулярное отображение, то образ любого открытого множества
есть открытое множество.